Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z}{- 2}$ và mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x - y + 2 z - 2022 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  

$sin \alpha = - \dfrac{4}{9}$.

B.  

$sin \alpha = \dfrac{4}{9}$.

C.  

$cos \alpha = - \dfrac{4}{9}$.

D.  

$cos \alpha = \dfrac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: B

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z}{- 2}$ và mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x - y + 2 z - 2022 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $sin \alpha = - \dfrac{4}{9}$. B. $sin \alpha = \dfrac{4}{9}$. C. $cos \alpha = - \dfrac{4}{9}$. D. $cos \alpha = \dfrac{4}{9}$.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = \left( 1 ; 2 ; - 2 \right)$; mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \left( 2 ; - 1 ; 2 \right)$.
Ta có $sin \alpha = \left| cos \left(\right. \overset{\rightarrow}{n} \textrm{ } , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{u} \right) \left| = \dfrac{\left|\right. \overset{\rightarrow}{n} . \overset{\rightarrow}{u} \left|\right.}{\left|\right. \overset{\rightarrow}{n} \left|\right. . \left|\right. \overset{\rightarrow}{u} \left|\right.} = \dfrac{4}{9}$.