Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):2y-z+3=0$ và điểm $A\left(2;0;0\right)$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A$, vuông góc với $\left(P\right)$, cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\frac{4}{3}$ và cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ khác $O$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

A.  

16.

B.  

$\frac{8}{3}$.

C.  

$\frac{16}{3}$.

D.  

8.

Đáp án đúng là: B

Gọi 1 VTPT của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.
Mặt phẳng $\left(P\right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_P}=\left(0;2;-1\right)$.
Do $\left(\alpha \right)\perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_P}=0\iff 2B-C=0\iff C=2B$.
$\Rightarrow \left(\alpha \right):Ax+By+2Bz+D=0$
Do $A\in \left(\alpha \right)\iff D=-2A$. Vậy $\left(\alpha \right):Ax+By+2Bz-2A=0$.
Do $\left(\alpha \right)$ cắt tia $Oy$ và $Oz$ nên $A,B$ cùng dấu.
Mặt khác: $d\left(O;\left(\alpha \right)\right)=\frac{4}{3}\iff \frac{\left|-2A\right|}{\sqrt{A^2+B^2+{\left(2B\right)}^2}}=\frac{4}{3}\iff \frac{\left|2A\right|}{\sqrt{A^2+5B^2}}=\frac{4}{3}$
$\iff 36A^2=16\left(A^2+5B^2\right)\iff A^2=4B^2\iff [\begin{array}{l}\frac{A}{B}=2\left(n\right)\\ \frac{A}{B}=-2\left(l\right)\end{array}$.
Với $\frac{A}{B}=2$. Chọn $A=2\Rightarrow B=1$. Khi đó: $\left(\alpha \right):2x+y+2z-4=0$. Do đó: $B\left(0;4;0\right)$ và $C\left(0;0;2\right)$.
Vậy $V_{OABC}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.2.4.2=\frac{8}{3}$.