15 đề thi THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng  ${45}^{°}$. Mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC và chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi  $V_1$ là thể tích của khối đa diện có chứa điểm S và  $V_2$ là thể tích của khối đa diện còn lại. Tìm tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}$? 

Cho góc  $\alpha$ thỏa mãn  $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$ và  $\sin \left(\alpha +\mathrm{\pi }\right)=-\frac{1}{3}$Tính  $\tan \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{2}-\alpha \right)$.   

Biết  $\sin \alpha -\cos \alpha =m$. Tính  ${\sin }^3\alpha -{\cos }^3 \alpha$:

Trong không gian, cho hình (H) gồm mặt cầu  $S\left(I;R\right)$ và đường thẳng  $∆$ đi qua tâm I của mặt cầu (S). Số mặt phẳng đối xứng của hình (H) là:

Cho bốn hàm số  $y=2\sin x, y=x^{\frac{1}{3}}$ $,y=\sqrt{x^2+x+1}, y=\frac{2x+1}{x^2+1}$. Số các hàm số có tập xác định là  $\mathrm{ℝ}$ bằng: 

Trong không gian, cho hai đường thẳng I,  $∆$ vuông góc và cắt nhau tại O. Hình tròn xoay khi quay đường thẳng l quanh trục  $∆$ là:

Hàm số  $\mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}.3^{2\mathrm{x}+3}$ có đạo hàm là

Cho hàm số  $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+x+2}}{\mathrm{x}-2}$ có đồ thị (C). Số tiệm cận của đồ thị (C) là:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=2{\sin }^2 x+{\cos }^2 2x$

Tìm chu kỳ của những hàm số sau đây:  $\mathrm{y}=\tan 3\mathrm{x} + \cot 2\mathrm{x}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC=2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng  ${60}^{°}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A, BC bằng  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính thể tích lăng trụ  

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Cho phương trình:  $\left(2\cos x-1\right)\left(2\sin x+\cos x\right)$

$\sin 2x- \sin x$.Tính tan của nghiệm x lớn nhất của phương trình trong khoảng 

$\left.-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right]$

Cho phương trình:  $\cos 2x+\left(1+2\cos x\right)\left(\sin x-\cos x\right)=0$. Số

họ nghiệm của phương trình dạng  $\mathrm{x}=\mathrm{a}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }$ là:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  $\left({\mathrm{C}}_1\right)$ của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-1$ tại giao điểm của đồ thị  $\left({\mathrm{C}}_1\right)$ với

trục hoành có phương trình

Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số  $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}$ có

tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận của (H) nhỏ

nhất là

Giải bất phương trình  ${\log }_2^{2}x-4033{\log }_{2}x+4066272\le 0$ 

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức  $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r < 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 150 con và sau 5 giờ có 450 con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.

Cho hàm số  $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}$ có đồ thị (C). Số điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị (C) là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  $\mathrm{y}=\frac{\tan x-2}{\mathrm{tanx}- \mathrm{m}}$ xác định trên khoảng  $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ 

Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau, các chữ cái được lấy từ bảng 26 chữ cái (A, B, C,..., Z).  Các chữ số được lấy từ 10 chữ số (0,1,..,9).  Hỏi: Có bao nhiêu biến số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chứ số lẻ giống nhau?

Trong các hàm số  $\mathrm{y}=x^4-2x^2-3$, $,y=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+x+3$,  $\mathrm{y}=\left.x^2-1\right|-4$ $,\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\left.\mathrm{x}\right|-3$ có hàm số có 3 điểm cực trị?

Để hàm số  $,\mathrm{y}=\frac{-{\mathrm{x}}^3}{3}+\left(\mathrm{a}-1\right){\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{a}+3\right)\mathrm{x}-4$ đồng biến trên khoảng  $\left(0;3\right)$ thì giá trị cần tìm của tham số a là:

Cho hàm số bậc ba  $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ có đồ thị như sau: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng

Biết hàm số  $\mathrm{y}=\sqrt{4x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng  $\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)$ . Giá trị của tổng  $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số  $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{m}$ (m là tham số) có đồ thị (C). Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị (C). Khi đó, số giá trị của tham số m để diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) bằng 1 là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a  $\left(a>0\right)$. Hai mặt phẳng (SBC) và  $\left(SCD\right)$ cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc  ${45}^{°}$. Biết  $SB=a$ và hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp  $S.ABCD$ có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác cân tại A và  $\widehat{BAC}=120°, BC=2a$. Gọi M. N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm A, N, M, B.

Hàm số  $y={\sin }^2 x$ có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn  $\left.-\frac{10\mathrm{\pi }}{3};\frac{10\mathrm{\pi }}{3}\right]$ ?

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $\frac{1}{2}{C}_n^0-\frac{1}{3}{C}_n^1+\frac{1}{4}{C}_n^2-\frac{1}{5}{C}_n^3$. $+...+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+2}{C}_n^n=\frac{1}{156}$

Cho hàm số  $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{m}$ (m là tham số) có đồ thị  $\left(C_m\right)$ . Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị  $\left(C_m\right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là tập hợp nào sau đây?

Cho hàm số  $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{m}$ (m là tham số) có đồ thị  $\left(C_m\right)$ . Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị  $\left(C_m\right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là tập hợp nào sau đây?

Tập nghiệm của bất phương trình  ${\log }_3\mathrm{x}\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2\mathrm{x}\right)$ là nửa khoảng  $(a;b]$ . Giá trị của  $a^2+b^2$ bằng

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số  $\mathrm{y}=\mathrm{xlnx}$ trên đoạn  $\left.\frac{1}{2e};e\right]$ lần lượt là

Cho cấp số nhân  $\left(u_n\right)$ có  $u_2=-2$ và  $u_5=54$. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

Giới hạn  $\underset{\mathrm{x}\to 3}{\lim }\frac{x+1-\sqrt{5x+1}}{x-\sqrt{4x-3}}$ bằng  $\frac{a}{b}$ (phân số tối giản). Giá trị của a - b là:

Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a, thể tích khối cầu (S) bằng

Cho hàm số  $\mathrm{y}=x\ln x+1$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ  $x_0=2e$

Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tập hợp các điểm M thỏa mãn  $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=\frac{11a^2}{2}$ là mặt cầu.

Cho hình chóp đều n cạnh  $\left(n\ge 3\right)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  ${60}^{°}$, thể tích khối chóp bằng  $\frac{3\sqrt{3}}{4}.R^3$. Tìm n?

Cho các phát biểu sau:

(1): Phương trình  $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^3+1=0$ có nghiệm trên khoảng  $\left(-1;3\right)$?

(2): Phương trình sau: $\cos 2x=2\sin x-2$ có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\mathrm{\pi }\right)$ 

(3):  $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^5-5\mathrm{x}-1=0$ có ít nhất ba nghiệm

(4): Phương trình  ${\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}+1=0$ có ít nhất 2 nghiệm

trên  $\left(-2;2\right)$. Hỏi có bao nhiêu phát biểu đúng

 Cho hàm số  $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3-\frac{1}{2}\left(2m+4\right){\mathrm{x}}^2$ $+\left(m^2+4m+3\right)\mathrm{x}+1$ 

(m là tham số). Tìm m để

hàm số đạt cực đại tại  $x_0=2$ 

Cho các hàm số:  $f\left(x\right)={\sin }^4 x+{\cos }^4 x$ $,g\left(x\right)={\sin }^6 x+{\cos }^6 x$.Tính biểu thức:  $3f\text{'}\left(x\right)-2g\text{'}\left(x\right)+2$

Dân số thế giới được ước tính theo công thức  $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{r}.\mathrm{N}}$trong đó: A là dân số của năm lấy mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2001, dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người và tỷ lệ tăng dân số hằng năm là 1,7% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức khoảng 120 triệu người?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BD. Tìm thể tích khối tứ diện GABD

Cho  $x,y\in \left.1;2\right]$ thỏa mãn:  $2{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-1=2x^3\left(2-y\right)\sqrt{3-2y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $T=x+y$

Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m.Chiều cao SO=6m (SO vuông góc với mặt đáy).Các cạnh bên của (H) là các sợi  $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6$ nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO.Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1.Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.

Tìm thể tích của hình chóp S.ABC biết  $SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=2a$ và có  $\widehat{BSA}={60}^{°}, \widehat{BSC}={90}^{ °},\widehat{CSA}={120}^{°}$ 

Tập nghiệm của bất phương trình  ${\log }_2\mathrm{x}\le 4^{{\log }_{2}9}$ là:

Cho x, y là các số thực dương và  $x\ne y$. Biểu thức  $\mathrm{A}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}^{2\mathrm{x}}+{\mathrm{y}}^{2\mathrm{x}}\right)}^2-{\left(4^{\frac{1}{2\mathrm{x}}}\mathrm{xy}\right)}^{2\mathrm{x}}}$ bằng

Chọn khẳng định đúng. Hàm số   $f\left(x\right)=x.e^{-x}$