Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$  (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu  $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có  $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với  $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có  $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19,  $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu  $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có  $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với  $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có  $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19,  $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu  $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có  $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$  chia hết cho 19 với  $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có  $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$  chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19,  $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

Cho $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)} \mathrm{với} \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho dãy xác định bởi công thức $\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}.$  Số hạng tổng quát của dãy u_n  là

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}$với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$là

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  xác định bởi $\begin{array}{l}{u}_1=\cos \alpha \left(0<\alpha <\pi \right)\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\ge 1\end{array}$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là