Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

Chuyên đề Toán 11
Chuyên đề 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
Lớp 11;Toán

Thời gian làm bài: 1 giờ

Chọn mã đề:

Bạn chưa làm Đề số 1!!!

Hãy bắt đầu chinh phục nào!

Xem trước nội dung:

Câu 1: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n \geq 2

, ta luôn có

2^{n + 1} > 2 n + 3 (*)

Câu 2: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4 + 2.7 + ... + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2} (1)$

Câu 3: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có ${1.2}^{2} + {2.3}^{3} + {3.4}^{4} + ... + (n - 1) n^{2} = \frac{n (n^{2} - 1) (3 n + 2)}{12} (1)$

Câu 4: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (1)$

Câu 5: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n + n} > \frac{13}{24} (1)$

Câu 6: 1 điểm

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh

(n \geq 4)

là

\frac{n (n - 3)}{2} .

Câu 7: 1 điểm

Chứng minh rằng mọi n – giác lồi

(n \geq 5)

đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.

Câu 8: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu

u_{n} = 9^{n} - 1.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Câu 9: 1 điểm

Chứng minh rằng với mọi

n \in ℕ^{*}, n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)

chia hết cho 120.

Câu 1: 1 điểm

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên

n \geq p

(p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

k > p

k \geq p

k = p

k < p

Câu 2: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 3: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 4: 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Sai từ bước 1

Sai từ bước 3

Sai từ bước 2

Lập luận hoàn toàn đúng

Câu 5: 1 điểm

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

$(I) k \in A; (I I) n \in A \Rightarrow n + 1 \in A, \forall n \geq k$

Lúc đó ta có

Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.

Mọi số nguyên dương đều thuộc A.

Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

Mọi số nguyên đều thuộc A.

Câu 6: 1 điểm

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $n \geq p$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Chỉ có bước 2 đúng.

Cả hai bước đều đúng.

Cả hai bước đều sai.

Chỉ có bước 1 đúng.

Câu 7: 1 điểm

Với mọi

n \in ℕ^{*},

khẳng định nào sau đây sai?

1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .

1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .

2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .

Câu 8: 1 điểm

Cho

S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} với n \in ℕ *

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

S_{n} = \frac{n - 1}{n} .

S_{n} = \frac{n}{n + 1} .

S_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} .

S_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} .

Câu 9: 1 điểm

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + {(- 1)}^{2 n} \end{cases} .$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

u_{n} = 1 + n .

u_{n} = 1 - n .

u_{n} = 1 + {(- 1)}^{2 n} .

u_{n} = n .

Câu 10: 1 điểm

Cho dãy xác định bởi công thức

\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n}, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases} .

Số hạng tổng quát của dãy u_n là

u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n}} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n} + 1} .

u_{n} = \frac{3}{2^{n} - 1} .

Câu 11: 1 điểm

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .

Câu 12: 1 điểm

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi

\{\begin{cases} u_{1} = \cos α (0 < α < π) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}, \forall n \geq 1 \end{cases}

. Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2020}}) .

u_{2020} = \cos (\frac{α}{2^{2019}}) .

u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2021}}) .

u_{2020} = \sin (\frac{α}{2^{2020}}) .

Xem thêm đề thi tương tự

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Vecto trong không gian - Hai đường thẳng vuông góc có đáp ánLớp 11Toán

Chuyên đề Toán 11
Chuyên đề 8: Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc trong không gian
Lớp 11;Toán

115 câu hỏi 4 mã đề 1 giờ

186,409 lượt xem 100,366 lượt làm bài