Đạo hàm của hàm số $y = \left(log\right)_{5} \left(\right. 2 x + 1 \right)$ trên tập xác định của hàm số là

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right)$. Hàm số $y = f^{'} \left( x \right)$ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Đạo hàm của hàm số $y = log x$ trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ là

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1 ; 8 \left]\right.$ và thỏa mãn
$\int_{1}^{2} \left(\left[\right. f \left(\right. x^{3} \right) \left]\right)^{2} \text{d} x + 2 \int_{1}^{2} f \left(\right. x^{3} \right) \text{d} x - \dfrac{4}{3} \int_{1}^{8} f \left( x \right) \text{d} x = - \dfrac{247}{15}$.
Giả sử rằng $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\left[\right. 1 ; 8 \left]\right.$. Tích phân $\int_{1}^{8} x \cdot F^{'} \left( x \right) \text{d} x$ bằng

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f^{'} \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ như hình vẽ

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f ' \left( x \right) = x \left( x + 1 \right) \left( x^{2} + 2 x + m \right)$ trên $\mathbb{R} .$ Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc $\left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ của $m$ để hàm số $y = f \left( x \right)$ có $4$ điểm cực trị?

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 16 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{1}{4} x^{4} - \dfrac{2}{3} x^{3} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 2023$ đồng biến trên khoảng $\left( 5 ; + \infty \right)$