Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$ bằng 3. Giá trị của tham số m là

A.  

m=5.

B.  

m=7.

C.  

m=1.

D.  

m=3.

Đáp án đúng là: D

Biết giá trị lớn nhất của hàm số  $y = \dfrac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn  $\left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$ bằng 3. Giá trị của tham số m là:

Để tìm giá trị của tham số m, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $y = \dfrac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn  $\left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$ và so sánh với 3.

Ta xét hàm số  $y = \dfrac{2 x + m}{x + 1}$. Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của hàm số:

$y' = \dfrac{(2)(x+1) - (2x+m)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x + 2 - 2x - m}{(x+1)^2} = \dfrac{2 - m}{(x+1)^2}$

Đạo hàm  $y'$ không đổi dấu vì  $(x+1)^2 > 0$ với mọi  $x$ trong khoảng đã cho. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số xảy ra tại một trong các đầu mút của đoạn  $\left[ 0 ; 4 \right]$.

Xét tại  $x = 0$, ta có  $y(0) = \dfrac{2 \cdot 0 + m}{0 + 1} = m$.

Xét tại  $x = 4$, ta có  $y(4) = \dfrac{2 \cdot 4 + m}{4 + 1} = \dfrac{8 + m}{5}$.

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, do đó:

$\max\left( m, \dfrac{8 + m}{5} \right) = 3$

Xét trường hợp  $m = 3$:

$\dfrac{8 + m}{5} = \dfrac{8 + 3}{5} = \dfrac{11}{5} = 2.2$, nhỏ hơn 3.

Vậy  $m = 3$ là giá trị lớn nhất của hàm số tại  $x = 0$.