Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 a x^{2} + b$ có một điểm cực trị là \left(\right. 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right). Khi đó khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng

A.  

2.

B.  

$\sqrt{2}$.

C.  

$\sqrt{26}$.

D.  

$\sqrt{5}$.

Đáp án đúng là: B

TXĐ: $\mathbb{R}$
Có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 a x$, xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 a x = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ x^{2} = a$
Vì đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $\left(\right. 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right)$ nên $a = 1$
Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1$ thế vào phương trình $y = x^{4} - 2 a x^{2} + b$ ta có $\left[\right. x = 0 \Rightarrow y = b \\ x = 1 \Rightarrow y = b - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow y = b - 1$
Mà $\left(\right. 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right)$ là một điểm cực trị nên $b - 1 = 2 \Rightarrow b = 3$
Vậy đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ có điểm CĐ $A \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \right)$ và hai điểm CT $B \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right)$; $C \left( - 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right)$
Khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT của đồ thị hàm số đã cho là
$A B = \sqrt{1^{2} + \left( - 1 \right)^{2}} = \sqrt{2}$.