Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x^{2} - 25 \right) \left( x + 2 \right)$. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left(\left|\right. x \left|\right.\right)^{3} + 8 \left|\right. x \left|\right. - 4 m - m^{2} \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x^{2} - 25 \right) \left( x + 2 \right)$. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left(\left|\right. x \left|\right.\right)^{3} + 8 \left|\right. x \left|\right. - 4 m - m^{2} \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị
A. $- 4$. B. $0$. C. $- 3$. D. $2$.
Lời giải
Ta có: $f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( x - 3 \right) \left( x^{2} - 25 \right) \left( x + 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 3 \\ x = 5 \\ x = - 5 \\ x = - 2$.
Xét hàm số $h \left( x \right) = f \left( x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} \right)$.
$h^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( 3 x^{2} + 8 \right) f ' \left( x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} \right) = 0 \Leftrightarrow f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} = 3 \\ x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} = 5 \\ x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} = - 5 \\ x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} = - 2$
$\Leftrightarrow \left[\right. x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} + 3 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} + 5 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} - 5 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} - 2$.
Để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left(\left|\right. x \left|\right.\right)^{3} + 8 \left|\right. x \left|\right. - 4 m - m^{2} \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì $h \left( x \right) = f \left( x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} \right)$ có đúng $2$ điểm cực trị dương.
Mặt khác $y = x^{3} + 8 x \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} + 8 > 0 \forall x \in \mathbb{R}$ là hàm đơn điệu nên $M = x^{3} + 8 x$ có duy nhất một nghiệm.
$h \left( x \right) = f \left( x^{3} + 8 x - 4 m - m^{2} \right)$ có đúng $2$ điểm cực trị dương khi $h^{'} \left( x \right) = 0$ có đúng $2$ nghiệm đơn dương. $\Leftrightarrow \left{ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} + 5 > 0 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} + 3 > 0 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} - 2 \leq 0 \\ x^{3} + 8 x = 4 m + m^{2} - 5 < 0 \Leftrightarrow \left{\right. m^{2} + 4 m + 5 > 0 \\ m^{2} + 4 m + 3 > 0 \\ m^{2} + 4 m - 2 \leq 0 \\ m^{2} + 4 m - 5 < 0 \Leftrightarrow \left[\right. - 2 - \sqrt{6} \leq m < - 3 \\ - 1 < m \leq - 2 + \sqrt{6} \\ d o \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[\right. m = - 4 \\ m = 0$
Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m$bằng $- 4$.