Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên $\left[ 0 ; 2 \left]\right.$ và thỏa mãn $2 f \left(\right. 2 \right) = \int_{0}^{2} x \left(\right. f^{'} \left( x \right) - 1 \left.\right) d x$. Tích phân $I = \int_{0}^{2} f \left( x \right) d x$ bằng

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f^{'} \left( 1 + 2 x \right)$ như hình vẽ

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$và thỏa mãn $2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f \left( x \right)$ và $y = f^{'} \left( x \right)$ và $\dfrac{a}{b} . \sqrt{5}$( với $a \textrm{ } , b \textrm{ } \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu $a - b$ bằng

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có $f^{'} \left( - 2 \right) = 0 .$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và bảng xét dấu đạo hàm như sau

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[\right. - 3 ; 3 \left]\right.$ và đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[\right. - 3 ; 3 \left]\right.$ là:

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1 ; 8 \left]\right.$ và thỏa mãn
$\int_{1}^{2} \left(\left[\right. f \left(\right. x^{3} \right) \left]\right)^{2} \text{d} x + 2 \int_{1}^{2} f \left(\right. x^{3} \right) \text{d} x - \dfrac{4}{3} \int_{1}^{8} f \left( x \right) \text{d} x = - \dfrac{247}{15}$.
Giả sử rằng $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\left[\right. 1 ; 8 \left]\right.$. Tích phân $\int_{1}^{8} x \cdot F^{'} \left( x \right) \text{d} x$ bằng

Cho hàm số

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 16 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) + \dfrac{1}{4} x^{4} - \dfrac{2}{3} x^{3} + \dfrac{1}{2} x^{2} + 2023$ đồng biến trên khoảng $\left( 5 ; + \infty \right)$

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f \left( 5 \right) = 1$ và $\int_{0}^{1} x \textrm{ } f \left( 5 x \right) \text{d} x = 1$, khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} \left( x \right) d x$ bằng

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên $\left[ 0 ; 2 \left]\right.$ và thỏa mãn $2 f \left(\right. 2 \right) = \int_{0}^{2} x \left(\right. f ' \left( x \right) - 1 \left.\right) d x$
Tích phân $I = \int_{0}^{2} f \left( x \right) \text{d} x$ bằng