Cho hàm số $f \left( x \right)$ bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để hàm số $g \left( x \right) = \dfrac{1}{3} f^{3} \left( x \right) + \dfrac{1}{2} m . f^{2} \left( x \right) + 3 f \left( x \right) - 1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right) ?$

A.  

$16$.

B.  

$15$.

C.  

$14$.

D.  

$13$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $g \left( x \right)$ nghịch biến khi
$g^{'} \left( x \right) = f^{2} \left( x \right) . f^{'} \left( x \right) + m f \left( x \right) f^{'} \left( x \right) + 3 f^{'} \left( x \right) \leq 0 , \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow f^{'} \left( x \right) \left[\right. f^{2} \left( x \right) + m f \left( x \right) + 3 \left]\right. \leq 0 , \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow f^{2} \left( x \right) + m f \left( x \right) + 3 \geq 0 , \forall x \in \left( 0 ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow f^{2} \left( x \right) + m f \left( x \right) + 3 \geq 0 , \forall x \in \left[\right. 0 ; 1 \left]\right.$
Đặt $t = f \left( x \right) \in \left[ 1 ; 3 \left]\right. , \forall x \in \left[\right. 0 ; 1 \left]\right. .$ Cần tìm điều kiện để $t^{2} + m t + 3 \geq 0 , \forall t \in \left[\right. 1 ; 3 \left]\right. \Leftrightarrow m \geq g \left(\right. t \right) = - t - \dfrac{3}{t} , \forall t \in \left[ 1 ; 3 \left]\right. \Leftrightarrow m \geq \underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} g \left(\right. t \right) = g \left( \sqrt{3} \right) = - 2 \sqrt{3}$
Vậy $m \in \left{ - 3 , . . . , 10 \right} \Rightarrow$ có $14$ giá trị nguyên thỏa mãn.