Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm là $f^{'} \left( x \right) = x . e^{x} , \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 1 .$ Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f \left( x \right)$ thỏa mãn $F \left( 2 \right) = 5 .$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.  

$F \left( 0 \right) = 6 .$

B.  

$F \left( 0 \right) = - 5 .$

C.  

$F \left( 0 \right) = - 1 .$

D.  

$F \left( 0 \right) = 4 .$

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm là $f^{'} \left( x \right) = x . e^{x} , \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 1 .$ Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f \left( x \right)$ thỏa mãn $F \left( 2 \right) = 5 .$ Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $F \left( 0 \right) = 6 .$B. $F \left( 0 \right) = - 5 .$C. $F \left( 0 \right) = - 1 .$D. $F \left( 0 \right) = 4 .$
Lời giải
Ta có $f \left( x \right) = \int f^{'} \left( x \right) d x = \int x . e^{x} d x = x . e^{x} - \int e^{x} d x = \left( x - 1 \right) . e^{x} + C$
Mà $f \left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 2$ hay $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) . e^{x} + 2$
Lại có $\int_{0}^{2} f \left( x \right) d x = F \left( 2 \right) - F \left( 0 \right) \Rightarrow F \left( 0 \right) = F \left( 2 \right) - \int_{0}^{2} f \left( x \right) d x$
$\Leftrightarrow F \left( 0 \right) = 5 - \int_{0}^{2} \left[\right. \left( x - 1 \right) e^{x} + 2 \left]\right. d x = 5 - \left( \left[\right. \left( x - 2 \right) e^{x} + 2 x \left]\right. \left|\right.\right)_{0}^{2} = 5 - 6 = - 1$