Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 9 \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( 3 - x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3 ; + \infty \right)$?

A.  

$6$.

B.  

$5$.

C.  

$7$.

D.  

$8$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $f^{'} \left( 3 - x \right) = \left( 3 - x \right) \left(\left( 2 - x \right)\right)^{2} \left[\right. \left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + m \left( 3 - x \right) + 9 \left]\right. .$
Khi đó $g^{'} \left( x \right) = - f^{'} \left( 3 - x \right) .$
Hàm số $g \left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3 ; + \infty \right)$ khi và chỉ khi
$g^{'} \left( x \right) \geq 0 , \forall x \in \left( 3 ; + \infty \right) . \\ \Leftrightarrow - f^{'} \left( 3 - x \right) \leq 0 , \forall x \in \left( 3 ; + \infty \right) . \\ \Leftrightarrow \left( 3 - x \right) \left(\left( 2 - x \right)\right)^{2} \left[\right. \left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + m \left( 3 - x \right) + 9 \left]\right. \leq 0 , \forall x \in \left( 3 ; + \infty \right) .$
$\forall x \in \left( 3 ; + \infty \right)$ thì $\left( 3 - x \right) \leq 0 , \left(\left( 2 - x \right)\right)^{2} \geq 0$ suy ra $\left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + m \left( 3 - x \right) + 9 \geq 0 , \forall x \in \left( 3 : + \infty \right) .$
$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{\left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + 9}{x - 3} , \forall x \in \left( 3 ; + \infty \right) \Leftrightarrow m \leq \underset{\left( 3 : + \infty \right)}{M i n} \dfrac{\left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + 9}{x - 3}$.
Ta có $\dfrac{\left(\left( 3 - x \right)\right)^{2} + 9}{x - 3} = \left( x - 3 \right) + \dfrac{9}{x - 3} \geq 2 \sqrt{\left( x - 3 \right) . \dfrac{9}{x - 3}} = 6$
Suy ra $m \leq 6 .$
Vì $m$ nguyên dương suy ra $m \in \left{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \right}$.