Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \textrm{ } \left( x \right) = \left( x - 2 \right)^{2} \left( x^{2} - x \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x^{2} - 10 x + m \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị?

A.  

$21$.

B.  

$23$.

C.  

$24$.

D.  

$22$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \textrm{ } \left( x \right) = \left( x - 2 \right)^{2} \left( x^{2} - x \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x^{2} - 10 x + m \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị?
A. $21$. B. $23$. C. $24$. D. $22$.
Lời giải
Ta có $f^{'} \textrm{ } \left( x \right) = \left( x - 2 \right)^{2} \left( x^{2} - x \right) = 0 \Rightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = 1$ là nghiệm bội lẻ.
Mặt khác $g^{'} \left( x \right) = \left( 2 x - 10 \right) f^{'} \left( x^{2} - 10 x + m \right)$ suy ra
$g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 5 \\ x^{2} - 10 x + m = 0 \\ x^{2} - 10 x + m = 1 \Leftrightarrow \left[\right. x = 5 \\ m = 25 - \left(\right. x - 5 \right)^{2} \\ m = 26 - \left( x - 5 \right)^{2} .$ (*)
Hàm số $g \left( x \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi $\left( \star \right)$ có $5$ nghiệm bội lẻ suy ra $m < 25$.
Vì $m$ nguyên dương nên có $24$ giá trị.