Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ và thỏa mãn $2 x^{2} + f \left( x \right) = 2 x f ' \left( x \right)$ với mọi $x > 0$. Biết $f \left( 1 \right) = 1$, giá trị của $f \left( 9 \right)$ bằng

A.  

$\dfrac{52}{3}$.

B.  

55.

C.  

52.

D.  

49.

Đáp án đúng là: B

$2 x^{2} + f \left( x \right) = 2 x f ' \left( x \right) \Rightarrow 2 x f ' \left( x \right) - f \left( x \right) = 2 x^{2} \\ \Rightarrow \dfrac{f^{'} \left( x \right)}{\sqrt{x}} - \dfrac{f \left( x \right)}{2 x \sqrt{x}} = \sqrt{x} \\ \Rightarrow \dfrac{f^{'} \left( x \right) \sqrt{x} - f \left( x \right) \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}}{x} = \sqrt{x} \\ \Rightarrow \left(\right. \dfrac{f \left( x \right)}{\sqrt{x}} \left.\right)^{'} = \sqrt{x} \\ \Rightarrow \int_{}^{} \left(\right. \dfrac{f \left( x \right)}{\sqrt{x}} \left.\right)^{'}   \text{d} x = \int_{}^{} \sqrt{x}   \text{d} x \\ \Rightarrow \dfrac{f \left( x \right)}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$
Mà $f \left( 1 \right) = 1 \Rightarrow C = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{f \left( x \right)}{\sqrt{x}} = \dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + \dfrac{1}{3} \Rightarrow f \left( 9 \right) = 55$.