Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\left(\left[\right. f ' \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} = f \left( x \right) . e^{x} , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 2$.
Khi đó $f \left( 2 \right)$ thuộc khoảng nào sau đây?

A.  

$\left( 11 ; 12 \right)$.

B.  

$\left( 12 ; 13 \right)$.

C.  

$\left( 9 ; 10 \right)$.

D.  

$\left( 13 ; 14 \right)$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = x^{6} + \left( m + 4 \right) x^{5} + \left( 16 - m^{2} \right) x^{4} + 2$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 0$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. 9. B. 6. C. 8. D. 3.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y^{'} = 6 x^{5} + 5 \left( m + 4 \right) x^{4} + 4 \left( 16 - m^{2} \right) x^{3} = x^{3} \left[\right. 6 x^{2} + 5 \left( m + 4 \right) x + 4 \left( 16 - m^{2} \right) \left]\right.$
Đặt $g \left( x \right) = 6 x^{2} + 5 \left( m + 4 \right) x + 4 \left( 16 - m^{2} \right)$
Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. n g h i e m \textrm{ }\textrm{ } b o i \textrm{ }\textrm{ } l e \right) \\ g \left( x \right) = 0$
Do đó để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 0 \Leftrightarrow g \left( x \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc $g \left( x \right)$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
TH1: $g \left( x \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \Delta \leq 0 \\ \Leftrightarrow 25 \left( m + 4 \right)^{2} - 96 \left( 16 - m^{h} \right) \leq 0 \\ \Leftrightarrow 121 m^{2} + 200 m - 1136 \leq 0 \\ \Leftrightarrow m \in \left[ - 4 ; \textrm{ } \dfrac{284}{121} \left]\right.$
Mà $m \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star} \Rightarrow m \in \left{\right. 1 ; \textrm{ }\textrm{ } 2 \right}$
TH2: $g \left( x \right)$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
$\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}\Delta > 0 \\ a c > 0\end{matrix} \\ \Leftrightarrow \left{\right. \begin{matrix}m \in \left(\right. - \infty ; \textrm{ } - 4 \right) \cup \left( \dfrac{284}{121} ; \textrm{ } + \infty \right) \\ 16 - m^{2} > 0\end{matrix} \\ \Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}m \in \left(\right. - \infty ; \textrm{ } - 4 \right) \cup \left( \dfrac{284}{121} ; \textrm{ } + \infty \right) \\ m \in \left( - 4 ; \textrm{ } 4 \right)\end{matrix} \\ \Leftrightarrow m \in \left( \dfrac{284}{121} ; \textrm{ } 4 \right)$
Mà $m \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star} \Rightarrow m = 3$
Kết hợp 2 TH suy ra $\Rightarrow m \in \left{ 1 ; \textrm{ }\textrm{ } 2 ; \textrm{ }\textrm{ } 3 \right}$ $\Rightarrow$ Tổng các giá trị của $m$ là $1 + 2 + 3 = 6$.