Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8199

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) liên tục trên [13;3]\left[\right. \dfrac{1}{3} ; 3 \left]\right. thỏa mãn f(x)+xf(1x)=x3−x.f \left( x \right) + x f \left( \dfrac{1}{x} \right) = x^{3} - x .Giá trị của tích phân I=∫133f(x)x2+xdxI = \int_{\dfrac{1}{3}}^{3} \dfrac{f \left( x \right)}{x^{2} + x} \text{dx} bằng

A.  

89\dfrac{8}{9}.

B.  

34\dfrac{3}{4}.

C.  

169\dfrac{16}{9}.

D.  

23\dfrac{2}{3}.

Đáp án đúng là: A

Một dụng cụ hình nón bằng thủy tinh, bên trong có chứa một lượng nước. Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng thì phần không gian trống trong dụng cụ có chiều cao 2 cm2 \textrm{ } c m. Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng thì mực nước cao cách đỉnh của nói 8 cm8 \textrm{ } c m



Biết chiều cao của hình nón là h=a+b cm  (a,b∈Z)h = a + \sqrt{b} \textrm{ } c m \textrm{ }\textrm{ } \left( a , b \in \mathbb{Z} \right). Tính T=a+bT = a + b.
A. 2222. B. 5858. C. 8686. D. 7272.
Lời giải
Gọi hh là chiều cao dụng cụ hình nón bằng thủy tinh
Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng



Ta có: r1R=8h⇔r1=8Rh\dfrac{r_{1}}{R} = \dfrac{8}{h} \Leftrightarrow r_{1} = \dfrac{8 R}{h}
Thể tích nước là: V=13πR2h−13πr18=13πR2h−83π((8Rh))2=13πR2(h−83h2)V = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} h - \dfrac{1}{3} \pi r_{1} 8 = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} h - \dfrac{8}{3} \pi \left(\left( \dfrac{8 R}{h} \right)\right)^{2} = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} \left( h - \dfrac{8^{3}}{h^{2}} \right)
Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng


Ta có: r2R=h−2h⇔r2=R(h−2)h\dfrac{r_{2}}{R} = \dfrac{h - 2}{h} \Leftrightarrow r_{2} = \dfrac{R \left( h - 2 \right)}{h}
Thể tích nước là: V=13πr22(h−2)=13π(h−2)([R(h−2)h])2=13πR2((h−2))3h2V = \dfrac{1}{3} \pi r_{2}^{2} \left( h - 2 \right) = \dfrac{1}{3} \pi \left( h - 2 \right) \left(\left[\right. \dfrac{R \left( h - 2 \right)}{h} \left]\right.\right)^{2} = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} \dfrac{\left(\left( h - 2 \right)\right)^{3}}{h^{2}}
Vì thể tích nước không đổi nên ta có:
13πR2(h−83h2)=13πR2((h−2))3h2⇔((h−2))3+83=h3\dfrac{1}{3} \pi R^{2} \left( h - \dfrac{8^{3}}{h^{2}} \right) = \dfrac{1}{3} \pi R^{2} \dfrac{\left(\left( h - 2 \right)\right)^{3}}{h^{2}} \Leftrightarrow \left(\left( h - 2 \right)\right)^{3} + 8^{3} = h^{3}
⇔−6h2+12h+504=0⇔h=1+85⇒a=1;b=85⇒a+b=86.\Leftrightarrow - 6 h^{2} + 12 h + 504 = 0 \\ \Leftrightarrow h = 1 + \sqrt{85} \Rightarrow a = 1 ; b = 85 \Rightarrow a + b = 86 .


 

Câu hỏi tương tự:

#7702 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) liên tục trên [13;3]\left[\right. \dfrac{1}{3} ; 3 \left]\right. thỏa mãn f(x)+x⋅f(1x)=x3−xf \left( x \right) + x \cdot f \left( \dfrac{1}{x} \right) = x^{3} - x. Giá trị tích phân I=∫133f(x)x2+xdxI = \int_{\dfrac{1}{3}}^{3} \dfrac{f \left( x \right)}{x^{2} + x} \text{d} x bằng

Lượt xem: 130,990 Cập nhật lúc: 04:14 20/11/2024

#8384 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) liên tục trên R\mathbb{R} thỏa mãn ∫06f(x)dx=7\int_{0}^{6} f \left( x \right) d x = 7, ∫610f(x)dx=−1\int_{6}^{10} f \left( x \right) d x = - 1. Giá trị của I=∫010f(x)dxI = \int_{0}^{10} f \left( x \right) d x bằng

Lượt xem: 142,551 Cập nhật lúc: 12:18 21/11/2024

#11176 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) có đạo hàm liên tục trên R\mathbb{R}và thỏa mãn 2f(x)+f(1−x)=3x2−6, ∀x∈R2 f \left( x \right) + f \left( 1 - x \right) = 3 x^{2} - 6 , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x)y = f \left( x \right) và y=f′(x)y = f^{'} \left( x \right) và ab.5\dfrac{a}{b} . \sqrt{5}( với a ,b ∈(N)⋆a \textrm{ } , b \textrm{ } \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star} và ab\dfrac{a}{b} là phân số tối giản). Khi đó giá trị của hiệu a−ba - b bằng

Lượt xem: 190,017 Cập nhật lúc: 21:16 21/11/2024

#7828 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số y=f(x)y = f \left( x \right)liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng (−1;+∞)\left( - 1 ; + \infty \right), có đạo hàm liên
tục, dương trên khoảng (−1;+∞)\left( - 1 ; + \infty \right), thỏa mãn f(0)=4f \left( 0 \right) = 4 và
(f′(x))2=f(x).4(x+1)2(x2+2x+2), ∀x∈(−1;+∞)\left(\right. f^{'} \left( x \right) \left.\right)^{2} = f \left( x \right) . \dfrac{4}{\left( x + 1 \right)^{2} \left( x^{2} + 2 x + 2 \right)} , \text{ } \forall x \in \left( - 1 ; + \infty \right). Khi đó f(3−1)f \left( \sqrt{3} - 1 \right) thuộc khoảng nào sau đây?

Lượt xem: 133,106 Cập nhật lúc: 21:02 21/11/2024

#8153 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn
.
Giả sử rằng F(x)F \left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f \left( x \right) trên [1;8]\left[\right. 1 ; 8 \left]\right.. Tích phân ∫18x⋅F′(x)dx\int_{1}^{8} x \cdot F^{'} \left( x \right) \text{d} x bằng

Lượt xem: 138,652 Cập nhật lúc: 22:09 21/11/2024

#7778 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) liên tục trên [1;2]\left[\right. 1 ; 2 \left]\right. thoả mãn . Tính bằng

Lượt xem: 132,275 Cập nhật lúc: 05:59 20/11/2024

#8188 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) liên tục trên R\mathbb{R}. Gọi F(x),  G(x)F \left( x \right) , \textrm{ }\textrm{ } G \left( x \right) là hai nguyên hàm của f(x)f \left( x \right) trên R\mathbb{R} thỏa mãn F(8)+ G(8)=8F \left( 8 \right) + \textrm{ } G \left( 8 \right) = 8 và F(0)+ G(0)=−2F \left( 0 \right) + \textrm{ } G \left( 0 \right) = - 2. Khi đó ∫−20f(−4x)dx\int_{- 2}^{0} f \left( - 4 x \right) \text{d} x bằng

Lượt xem: 139,228 Cập nhật lúc: 20:41 21/11/2024

#11179 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) liên tục trên R\mathbb{R}. Gọi F(x),G(x)F \left( x \right) , G \left( x \right) là hai nguyên hàm của f(x)f \left( x \right) trên R\mathbb{R} thỏa mãn 2F(11)+G(11)=552 F \left( 11 \right) + G \left( 11 \right) = 55 và 2F(−1)+G(−1)=12 F \left( - 1 \right) + G \left( - 1 \right) = 1 Khi đó ∫02x(2+f(3x2−1))dx\int_{0}^{2} x \left( 2 + f \left(\right. 3 x^{2} - 1 \right) \left.\right) \text{d} x bằng

Lượt xem: 190,086 Cập nhật lúc: 20:44 21/11/2024

#8325 THPT Quốc giaToán

Cho hàm số f(x)f \left( x \right) liên tục trên R\mathbb{R}. Gọi F(x),G(x)F \left( x \right) , G \left( x \right) là hai nguyên hàm của f(x)f \left( x \right) trên R\mathbb{R} thỏa mãn 2F(4)−G(4)=62 F \left( 4 \right) - G \left( 4 \right) = 6 và 2F(0)−G(0)=22 F \left( 0 \right) - G \left( 0 \right) = 2. Khi đó ∫02f(2x)dx\int_{0}^{2} f \left( 2 x \right) \text{d} x bằng:

Lượt xem: 141,607 Cập nhật lúc: 20:55 21/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN -THPT-KIẾN-THỤY-HẢI-PHÒNG THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

1,338 lượt xem 679 lượt làm bài