Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8479

Cho hình lăng trụ đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}. Biết khoảng cách từ điểm CC đến mặt phẳng \left(\right. A B C^{'} \right) bằng aa, góc giữa hai mặt phẳng (ABC′)\left( A B C^{'} \right) và (BCC′B′)\left( B C C^{'} B^{'} \right) bằng α\alpha với cosα=123cos \alpha = \dfrac{1}{2 \sqrt{3}}. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}.

A.  

V=3a324V = \dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}.

B.  

V=3a322V = \dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}.

C.  

V=a322V = \dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{2}.

D.  

V=3a328V = \dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}.

Đáp án đúng là: B

Chọn B



Gọi MM là trung điểm của ABA B.
Do .
Kẻ CKC K vuông góc với CMC M tại KK thì ta được CK⊥(ABC′)C K \bot \left( A B C^{'} \right), do đó CK=d(C;(ABC′))=aC K = d \left(\right. C ; \left( A B C^{'} \right) \left.\right) = a.
Đặt BC=x,CC′=y,(x>0,y>0)B C = x , C C^{'} = y , \left( x > 0 , y > 0 \right), ta được: CM=x32C M = \dfrac{x \sqrt{3}}{2}
1CM2+1C(C′)2=1CK2⇔43x2+1y2=1a2  (1)\dfrac{1}{C M^{2}} + \dfrac{1}{C \left(C^{'}\right)^{2}} = \dfrac{1}{C K^{2}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3 x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} \textrm{ }\textrm{ } \left( 1 \right).
Kẻ CE⊥BC′C E \bot B C^{'} tại EE, ta được KEC^=α\widehat{K E C} = \alpha, EC=KCsinα=a1−112=a1211E C = \dfrac{K C}{sin \alpha} = \dfrac{a}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{12}}} = a \sqrt{\dfrac{12}{11}}.
Lại có 1x2+1y2=1CE2=1112a2  (2)\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} = \dfrac{1}{C E^{2}} = \dfrac{11}{12 a^{2}} \textrm{ }\textrm{ } \left( 2 \right).
Giải (1),(2)\left( 1 \right) , \left( 2 \right) ta được x=2a,y=a62x = 2 a , y = \dfrac{a \sqrt{6}}{2}.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} là:
V=y.x234=a62.4a234=32a32V = y . \dfrac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \dfrac{a \sqrt{6}}{2} . \dfrac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4} = \dfrac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7954 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ', biết đáy ABCA B C là tam giác đều cạnh aa. Khoảng cách từ tâm OO của tam giác ABCA B Cđến mặt phẳng (A′BC)\left( A ' B C \right) bằng a6\dfrac{a}{6}. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ' bằng

Lượt xem: 135,280 Cập nhật lúc: 09:29 22/11/2024

#8827 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C 'có các mặt bên đều là hình vuông. Gọi M,NM , Nlần lượt là trung điểm của các cạnh BC,​A′C′B C , ​ A ' C '. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng MNM Nvà AB′A B ' bằng a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}. Thể tích khối chóp A′ABCA ' A B C bằng

Lượt xem: 150,110 Cập nhật lúc: 03:29 22/11/2024

#7923 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều cạnh bằng aa, cạnh bên bằng 2a2 a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Lượt xem: 134,763 Cập nhật lúc: 03:12 22/11/2024

#8171 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có cạnh đáy bằng aa cạnh bên bằng 3a2\dfrac{3 a}{2}. Góc giữa hai mặt phẳng (A′BC)\left( A^{'} B C \right) và mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right) bằng

Lượt xem: 138,968 Cập nhật lúc: 08:01 22/11/2024

#8071 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là một tam giác vuông cân tại BB. AB=AA′=2a,A B = A A^{'} = 2 a , M,NM , N lần lượt là trung điểm của BCB Cvà BB′B B^{'}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MNM N và AC′A C^{'} bằng

Lượt xem: 137,238 Cập nhật lúc: 03:28 22/11/2024

#7537 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABCA B C tam giác vuông cân tại A,AB=a,AA′=a2.A , A B = a , A A^{'} = a \sqrt{2} . Gọi MM là trung điểm BC.B C . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AMA M và B′CB^{'} C bằng

Lượt xem: 128,158 Cập nhật lúc: 03:44 22/11/2024

#8941 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=2a,  BC=aA B = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } B C = a và AA′=4a.A A^{'} = 4 a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB.A B . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′A B^{'} và CM bằng

Lượt xem: 152,030 Cập nhật lúc: 03:53 22/11/2024

#8059 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ ABCA′B′C′A B C A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABCA B C vuông cân tại A, AB=aA , \textrm{ } A B = a, biết thể tích của khối lăng trụ ABCA′B′C′A B C A ' B ' C ' là V=4a33V = \dfrac{4 a^{3}}{3}. Tính khoảng cách hh giữa hai đường thẳng ABA B và B′C′B ' C '.

Lượt xem: 137,039 Cập nhật lúc: 03:58 22/11/2024

#8459 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ' có đáy ABCA B C là tam giác vuông tại BB, BC=aB C = a, mặt phẳng (A′BC)\left( A ' B C \right) tạo với đáy một góc 30∘30 \circ và tam giác A′BCA ' B C có diện tích bằng a23a^{2} \sqrt{3}. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C '.

Lượt xem: 143,835 Cập nhật lúc: 00:10 19/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ 12 - PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2024THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 40 phút

5,358 lượt xem 2,842 lượt làm bài