Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8108

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có thể tích VV. Gọi M,N,PM , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′A^{'} B^{'}; BCB C; CC′C C^{'}. Mặt phẳng (MNP)\left( M N P \right) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa điểm BB có thể tích là V1V_{1}. Tỉ số V1V\dfrac{V_{1}}{V} bằng

A.  

25144\dfrac{25}{144}.

B.  

37144\dfrac{37}{144}.

C.  

61144\dfrac{61}{144}.

D.  

49144\dfrac{49}{144}.

Đáp án đúng là: D



Ta có:
ΔPC′E=ΔPCN⇒C′E=CN\Delta P C^{'} E = \Delta P C N \Rightarrow C^{'} E = C N
ΔPCN=ΔHBN⇒HB=CP\Delta P C N = \Delta H B N \Rightarrow H B = C P
 Xét ΔA′B′C′\Delta A^{'} B^{'} C^{'}, theo định lý menelauyt có: A′MMB′.B′EEC′.C′FFA=1\dfrac{A^{'} M}{M B^{'}} . \dfrac{B^{'} E}{E C^{'}} . \dfrac{C^{'} F}{F A} = 1 ⇒C′FFA=13\Rightarrow \dfrac{C^{'} F}{F A} = \dfrac{1}{3}.
 Xét ΔBGN\Delta B G N đồng dạng ΔB′ME\Delta B^{'} M E ⇒BGB′M=BNB′E=13\Rightarrow \dfrac{B G}{B^{'} M} = \dfrac{B N}{B^{'} E} = \dfrac{1}{3} ⇒BGBA=16\Rightarrow \dfrac{B G}{B A} = \dfrac{1}{6}.
Ta có: V1=VH.B′ME−VH.BGN−VP.C′FEV_{1} = V_{H . B^{'} M E} - V_{H . B G N} - V_{P . C^{'} F E}.
Lại có:
VH.B′MEV=13.HB′BB′.B′MB′A′.B′EB′C′=13.32.12.32=38\dfrac{V_{H . B^{'} M E}}{V} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{H B^{'}}{B B^{'}} . \dfrac{B^{'} M}{B^{'} A^{'}} . \dfrac{B^{'} E}{B^{'} C^{'}} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{3}{2} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{8}.
VH.BGNV=13.HBBB′.BGBA.BNBC=13.12.16.12=172\dfrac{V_{H . B G N}}{V} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{H B}{B B^{'}} . \dfrac{B G}{B A} . \dfrac{B N}{B C} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{6} . \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{72}.
VP.C′FEV=13.PC′CC′.C′EC′B′.C′FC′A′=13.12.12.14=148\dfrac{V_{P . C^{'} F E}}{V} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{P C^{'}}{C C^{'}} . \dfrac{C^{'} E}{C^{'} B^{'}} . \dfrac{C^{'} F}{C^{'} A^{'}} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{48}.
Vậy V1V=38−172−148=49144\dfrac{V_{1}}{V} = \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{72} - \dfrac{1}{48} = \dfrac{49}{144}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7587 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng

. Gọi các điểm M , N , EM \textrm{ } , \textrm{ } N \textrm{ } , \textrm{ } E lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CC′ , A′C′B C \textrm{ } , \textrm{ } C C^{'} \textrm{ } , \textrm{ } A^{'} C^{'}. Mặt phẳng (MNE)\left( M N E \right) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích là thể tích khối đa diện chứa điểm . Tỷ số

bằng

Lượt xem: 129,052 Cập nhật lúc: 01:31 03/04/2025

#8097 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có thể tích bằng 3a33 a^{3}, tam giác ABCA B C có
AB=aA B = a, AC=2a3A C = 2 a \sqrt{3}, BAC^=60∘\hat{B A C} = 60 \circ. Chiều cao của khối lăng trụ bằng

Lượt xem: 137,784 Cập nhật lúc: 23:51 02/04/2025

#8579 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng aa. Thể tích khối lăng trụ đó là

Lượt xem: 145,978 Cập nhật lúc: 01:03 03/04/2025

#8122 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác vuông cân tại BB, AB=AA′=1A B = A A^{'} = 1 (tham khảo hình vẽ).



Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lượt xem: 138,238 Cập nhật lúc: 01:30 03/04/2025

#11404 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABCA B C là tam giác vuông cân tại BB và AC=2aA C = 2 a. Hình chiếu vuông góc của A′A^{'} trên mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right) là trung điểm HH của cạnh ABA B và AA′=a2A A^{'} = a \sqrt{2}. Tính thể tích VV của khối lăng trụ đã cho.

Lượt xem: 193,964 Cập nhật lúc: 02:10 03/04/2025

#8851 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ ABC⋅A′B′C′A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'} có AC′=8A C^{'} = 8, diện tích của tam giác A′BCA^{'} B C bằng 9 và đường thẳng AC′A C^{'} tạo với mặt phẳng (A′BC)\left( A^{'} B C \right) một góc (60)∘\left(60\right)^{\circ}. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lượt xem: 150,549 Cập nhật lúc: 10:31 02/04/2025

#8459 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ' có đáy ABCA B C là tam giác vuông tại BB, BC=aB C = a, mặt phẳng (A′BC)\left( A ' B C \right) tạo với đáy một góc 30∘30 \circ và tam giác A′BCA ' B C có diện tích bằng a23a^{2} \sqrt{3}. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C '.

Lượt xem: 143,896 Cập nhật lúc: 23:52 02/04/2025

#7727 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}. Biết rằng góc giữa (A′BC)\left( A^{'} B C \right) và (ABC)\left( A B C \right) bằng (30)0\left(30\right)^{0}, tam giác A′BCA^{'} B C có diện tích bằng 8. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

Lượt xem: 131,416 Cập nhật lúc: 05:52 03/04/2025

#8059 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ ABCA′B′C′A B C A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABCA B C vuông cân tại A, AB=aA , \textrm{ } A B = a, biết thể tích của khối lăng trụ ABCA′B′C′A B C A ' B ' C ' là V=4a33V = \dfrac{4 a^{3}}{3}. Tính khoảng cách hh giữa hai đường thẳng ABA B và B′C′B ' C '.

Lượt xem: 137,076 Cập nhật lúc: 12:44 02/04/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT YÊN ĐỊNH - THANH HÓATHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

72047