Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng

. Gọi các điểm $M \textrm{ } , \textrm{ } N \textrm{ } , \textrm{ } E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B C \textrm{ } , \textrm{ } C C^{'} \textrm{ } , \textrm{ } A^{'} C^{'}$. Mặt phẳng $\left( M N E \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích $V_{1} \textrm{ } , \textrm{ } V_{2} \textrm{ }\textrm{ } \left( V_{1}$ là thể tích khối đa diện chứa điểm $A \right)$. Tỷ số

bằng

Cho lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $d$ là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $C$ và $d$ không nằm trong các mặt phẳng $\left( A B C \right)$ và $\left( A C C^{'} A^{'} \right)$. Gọi $M N$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $A A^{'}$ và $d , M$ thuộc đường thẳng $d$ và $N$ thuộc đường thẳng $A A^{'}$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{'} M$ là

Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ đó là

Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $2 a$. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$có $A B \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } a$, $A A^{'} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a$. Khoảng cách giữa $A B^{'}$ và $C C^{'}$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng $a$ cạnh bên bằng $\dfrac{3 a}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( A^{'} B C \right)$ và mặt phẳng $\left( A B C \right)$ bằng

Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, biết $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} C = a$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ ?

Cho lăng trụ đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$. Biết rằng góc giữa $\left( A^{'} B C \right)$ và $\left( A B C \right)$ bằng $\left(30\right)^{0}$, tam giác $A^{'} B C$ có diện tích bằng 8. Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A ' B ' C '$, biết đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$. Khoảng cách từ tâm $O$ của tam giác $A B C$đến mặt phẳng $\left( A ' B C \right)$ bằng $\dfrac{a}{6}$. Thể tích khối lăng trụ $A B C . A ' B ' C '$ bằng

Cho khối lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích $V$. Gọi $M , N , P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A^{'} B^{'}$; $B C$; $C C^{'}$. Mặt phẳng $\left( M N P \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa điểm $B$ có thể tích là $V_{1}$. Tỉ số $\dfrac{V_{1}}{V}$ bằng