Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #7587

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng

Hình ảnh

. Gọi các điểm M , N , EM \textrm{ } , \textrm{ } N \textrm{ } , \textrm{ } E lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CC′ , A′C′B C \textrm{ } , \textrm{ } C C^{'} \textrm{ } , \textrm{ } A^{'} C^{'}. Mặt phẳng (MNE)\left( M N E \right) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích V_{1} \textrm{ } , \textrm{ } V_{2} \textrm{ }\textrm{ } \left( V_{1} là thể tích khối đa diện chứa điểm A \right). Tỷ số

Hình ảnh

bằng

A.  

11.

B.  

44.

C.  

33.

D.  

.

Đáp án đúng là: A

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng

. Gọi các điểm M , N , EM \textrm{ } , \textrm{ } N \textrm{ } , \textrm{ } E lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CC′ , A′C′B C \textrm{ } , \textrm{ } C C^{'} \textrm{ } , \textrm{ } A^{'} C^{'}. Mặt phẳng (MNE)\left( M N E \right) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích là thể tích khối đa diện chứa điểm . Tỷ số

bằng
A. 11. B. 44. C. 33. D.

.
Lời giải



Theo định lý Menelaus ta và định lý Talet ta có
SBSB′=SMSP=SRSQ⇒MPB′P=13  ;  A′QA′B′=14  ;  PC′ PB′=13  ;  PEEQ=2\dfrac{S B}{S B^{'}} = \dfrac{S M}{S P} = \dfrac{S R}{S Q} \Rightarrow \dfrac{M P}{B^{'} P} = \dfrac{1}{3} \textrm{ }\textrm{ } ; \textrm{ }\textrm{ } \dfrac{A^{'} Q}{A^{'} B^{'}} = \dfrac{1}{4} \textrm{ }\textrm{ } ; \textrm{ }\textrm{ } \dfrac{P C^{'} \textrm{ }}{P B^{'}} = \dfrac{1}{3} \textrm{ }\textrm{ } ; \textrm{ }\textrm{ } \dfrac{P E}{E Q} = 2
VSBMRVSB′PQ=((SMSP))3=127⇒\dfrac{V_{S B M R}}{V_{S B^{'} P Q}} = \left(\left( \dfrac{S M}{S P} \right)\right)^{3} = \dfrac{1}{27} \Rightarrow VSB′PQ=13d(CS,(A′B′C′)).SB′PQ=13.32d(B,(A′B′C′)).98SA′B′C′=916VV_{S B^{'} P Q} = \dfrac{1}{3} d \left( C S , \left(\right. A^{'} B^{'} C^{'} \right) \left.\right) . S_{B^{'} P Q} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{3}{2} d \left( B , \left(\right. A^{'} B^{'} C^{'} \right) \left.\right) . \dfrac{9}{8} S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \dfrac{9}{16} V
Khi đó VSBMR=148VV_{S B M R} = \dfrac{1}{48} V, dẫn đến
VP.C′NEVP.BSQ=PC′PB′.PNPS.PEPQ=227⇒VP.C′NE=V24⇒V2=VS.B′PQ−VS.BMR−VP.C′NE=12V⇒V1=V2\dfrac{V_{P . C^{'} N E}}{V_{P . B S Q}} = \dfrac{P C^{'}}{P B^{'}} . \dfrac{P N}{P S} . \dfrac{P E}{P Q} = \dfrac{2}{27} \Rightarrow V_{P . C^{'} N E} = \dfrac{V}{24} \Rightarrow V_{2} = V_{S . B^{'} P Q} - V_{S . B M R} - V_{P . C^{'} N E} = \dfrac{1}{2} V \Rightarrow V_{1} = V_{2}
Vậy V1V2=1\dfrac{V_{1}}{V_{2}} = 1.


 

Câu hỏi tương tự:

#7808 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ đứng ABC⋅A′B′C′A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'} có đáy là tam giác đều cạnh aa. Giả sử dd là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua CC và dd không nằm trong các mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right) và (ACC′A′)\left( A C C^{'} A^{'} \right). Gọi MNM N là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA′A A^{'} và d,Md , M thuộc đường thẳng dd và NN thuộc đường thẳng AA′A A^{'}. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng B′MB^{'} M là

Lượt xem: 132,784 Cập nhật lúc: 10:52 18/02/2025

#8579 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng aa. Thể tích khối lăng trụ đó là

Lượt xem: 145,953 Cập nhật lúc: 00:53 21/02/2025

#7923 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều cạnh bằng aa, cạnh bên bằng 2a2 a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Lượt xem: 134,819 Cập nhật lúc: 15:57 22/02/2025

#8267 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}có AB  =  aA B \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } a, AA′  =  2aA A^{'} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a. Khoảng cách giữa AB′A B^{'} và CC′C C^{'} bằng

Lượt xem: 140,654 Cập nhật lúc: 15:57 22/02/2025

#8171 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có cạnh đáy bằng aa cạnh bên bằng 3a2\dfrac{3 a}{2}. Góc giữa hai mặt phẳng (A′BC)\left( A^{'} B C \right) và mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right) bằng

Lượt xem: 139,020 Cập nhật lúc: 16:49 22/02/2025

#7977 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có đáy ABCA B C là tam giác đều cạnh bằng aa, biết A′A=A′B=A′C=aA^{'} A = A^{'} B = A^{'} C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} ?

Lượt xem: 135,662 Cập nhật lúc: 08:53 22/02/2025

#7727 THPT Quốc giaToán

Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}. Biết rằng góc giữa (A′BC)\left( A^{'} B C \right) và (ABC)\left( A B C \right) bằng (30)0\left(30\right)^{0}, tam giác A′BCA^{'} B C có diện tích bằng 8. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

Lượt xem: 131,403 Cập nhật lúc: 11:02 18/02/2025

#7954 THPT Quốc giaToán

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ', biết đáy ABCA B C là tam giác đều cạnh aa. Khoảng cách từ tâm OO của tam giác ABCA B Cđến mặt phẳng (A′BC)\left( A ' B C \right) bằng a6\dfrac{a}{6}. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′A B C . A ' B ' C ' bằng

Lượt xem: 135,333 Cập nhật lúc: 11:57 22/02/2025

#8108 THPT Quốc giaToán

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′A B C . A^{'} B^{'} C^{'} có thể tích VV. Gọi M,N,PM , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′A^{'} B^{'}; BCB C; CC′C C^{'}. Mặt phẳng (MNP)\left( M N P \right) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa điểm BB có thể tích là V1V_{1}. Tỉ số V1V\dfrac{V_{1}}{V} bằng

Lượt xem: 137,965 Cập nhật lúc: 01:54 21/02/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - THPT THUẬN-THÀNH-BẮC-NINHTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

650 lượt xem 280 lượt làm bài