Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = m x + \left( m + 1 \right) \sqrt{x - 2}$ nghịch biến trên $\left( 2 ; + \infty \right)$.

A.  

$m \geq 0$.

B.  

$m \leq - 1$.

C.  

$m < - 1$.

D.  

$- 2 \leq m \leq 1$.

Đáp án đúng là: B

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = m x + \left( m + 1 \right) \sqrt{x - 2}$ nghịch biến trên $\left( 2 ; + \infty \right)$.
A. $m \geq 0$. B. $m \leq - 1$. C. $m < - 1$. D. $- 2 \leq m \leq 1$.
Lời giải
$y ' = m + \dfrac{m + 1}{2 \sqrt{x - 2}} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2 m \sqrt{x - 2} + m + 1}{2 \sqrt{x - 2}} \leq 0 \Leftrightarrow 2 m \sqrt{x - 2} + m + 1 \leq 0$.
TH1: $m > 0$
$2 m \sqrt{x - 2} + m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} \leq \dfrac{- m - 1}{2 m} , \forall x \in \left( 2 ; + \infty \right) \Leftrightarrow \dfrac{- m - 1}{2 m} \geq 0 \Leftrightarrow m \leq - 1$ (loại)
TH2: $m < 0$
$2 m \sqrt{x - 2} + m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} \geq \dfrac{- m - 1}{2 m} , \forall x \in \left( 2 ; + \infty \right) \Leftrightarrow \dfrac{- m - 1}{2 m} \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 1$ (t/m)
TH3: $m = 0$
$y ' = \dfrac{1}{2 \sqrt{x - 2}} > 0 , \forall x \in \left( 2 ; + \infty \right)$ loại
Vậy $m \leq - 1$.