Tính thể tích của khối lập phương $A B C D A ' B ' C ' D '$, biết $A C ' = a \sqrt{3}$.

Cho hình lập phương $A B C D . A ' B ' C ' D '$ cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC và N thuộc cạnh CD thỏa CD=3CN. Mặt phẳng $\left( A ' M N \right)$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện, gọi $\left( H \right)$ là khối đa diện chứa điểm A. Tính thể tích của khối đa diện $\left( H \right)$ theo a.

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a .$Gọi $V_{1} , \textrm{ } V_{2} , \textrm{ } V_{3}$ lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$. Tính giá trị $P = \dfrac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$.

Tính thể tích của khối tứ diện đều biết chiều cao tứ diện bằng $a$.

Cho hình chóp có diện tích đáy bằng $6 a^{2}$ và chiều cao bằng $10 a$. Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

Một khối nón có bán kính đường tròn đáy $r = 3$ và độ dài đường sinh $l = 5$. Tính thể tích của khối nón đó.

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $A C = 2 a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ trên mặt phẳng $\left( A B C \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $A B$ và $A A^{'} = a \sqrt{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $S A B$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( A B C D \right)$, $\widehat{S A B} = \left(30\right)^{0}$, $S A = 2 a$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D .$

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng $60 \circ$. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D$ có bán kính $R = \sqrt{3} .$ Tính thể tích của khối chóp $S . A B C$.

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên $\left( S A B \right)$, $\left( S A C \right)$, $\left( S B C \right)$ lần lượt tạo với đáy các góc là $30 \circ , \text{ } 45 \circ , \text{ } 60 \circ$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( A B C \right)$ nằm trong tam giác $A B C$.