Trong không gian $O x y z ,$ cho điểm $A \left(\right. 3 ; 1 ; 4 \right)$, mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + z^{2} = 4$ và mặt phẳng $\left( P \right) : \textrm{ } x + 2 y - 2 z - 9 = 0 .$ Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A M$ luôn tiếp xúc với $\left( S \right) .$ Giá trị nhỏ nhất của đoạn $A M$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Trong không gian $O x y z ,$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - y + z + 7 = 0 ,$ đường thẳng $d : \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 5 .$ Gọi $A , \textrm{ }\textrm{ } B$ là hai điểm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $A B = 4 ;$ $A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B^{'}$ là hai điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B B^{'}$ cùng song song với đường thẳng $d .$ Giá trị lớn nhất của tổng độ dài $A A^{'} + \textrm{ } B B^{'}$ gần nhất với giá trị nào sau đây

Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - 2 y + 2 z + 12 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0$. Xét hai điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ sao cho $\overset{\rightarrow}{M N}$ cùng phương với véc-tơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $M N$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ  $O x y z$ cho mặt cầu  $\left( \text{S} \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$và mạt phẳng  $\left( \text{P} \right) : x + y + 2 z + 5 = 0$. Lấy điểm  $A$ di động trên  $\left( \text{S} \right)$và điểm  $B$ di động trên $\left( \text{S} \right)$sao cho  $\overset{\rightarrow}{A \text{B}}$cùng phương  $\overset{\rightarrow}{a} = \left( - 2 ; 1 ; - 1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn  $A B$.

Trong không gian với hệ trục $O x y z$, cho điểm $A \left( 2 ; - 2 ; 2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right) : x^{2} + y^{2} + \left( z + 2 \right)^{2} = 1$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$ đồng thời thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{O M} . \overset{\rightarrow}{A M} = 6$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  $\left( S \right) : \textrm{ } \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 1$ và điểm  $A \left( 2 ; 3 ; 4 \right)$. Xét các điểm  $M$ thuộc  $\left( S \right)$ sao cho  $A M$ luôn tiếp xúc với  $\left( S \right)$,  $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $E \left( 2 ; 1 ; 3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 3 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + \left( z - 5 \right)^{2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A \left( - 2 ; \textrm{ } - 2 ; \textrm{ } - 7 \right)$, đường thẳng $d : \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z - 3}{4}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x + 3 \right)\right)^{2} + \left(\left( y + 4 \right)\right)^{2} + \left(\left( z + 5 \right)\right)^{2} = 729$. Biết điểm $B$ thuộc giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 3 y + 4 z - 107 = 0$. Khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A + M B$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và điểm $I \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } - 3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ và tiếp xúc $\left( P \right)$ có phương trình:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right) : x + 2 y + z - 7 = 0$ và đi qua hai điểm $A \left( 1 ; 2 ; 1 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 ; 5 ; 3 \right)$. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng: