Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A \left( 4 ; \textrm{ }\textrm{ } 2 ; \textrm{ }\textrm{ } 1 \right)$, $B \left( - 2 ; \textrm{ } - 1 ; \textrm{ } 4 \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overset{\rightarrow}{A M} = 2 \overset{\rightarrow}{M B}$.

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ cho hai điểm $A \left( 0 ; 1 ; 2 \right)$, $B \left( 1 ; - 1 ; 3 \right)$. Viết phương trình đường thẳng $A B$?

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 2 , 4 , 1 \right)$; $B \left( - 1 , 1 , 3 \right)$và mặt phẳng $\left( P \right) : x - 3 y + 2 z - 5 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm $A , B$và vuông góc với $\left( P \right)$?

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 7 \right) , B \left( - 3 ; 8 ; - 1 \right)$. Mặt cầu đường kính $A B$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; 2 \right) \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; 1 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right) : a x + b y + z + c = 0$ chứa $A \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó biểu thức $T = a + b + c$ có giá trị bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right) : x + 2 y + z - 7 = 0$ và đi qua hai điểm $A \left( 1 ; 2 ; 1 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 ; 5 ; 3 \right)$. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng:

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \textrm{ } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A , B$phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$.

Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng $S_1$ và $S_2$ cách nhau $11\mathrm{c}\mathrm{m}$ dao động theo phương vuông góc với mặt nước với cùng phương trình ${\mathrm{u}}_1={\mathrm{u}}_2=5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}100\pi \mathrm{t}\mathrm{}\left(\mathrm{m}\mathrm{m}\right)(t$ tính bằng $\mathrm{s})$. Tốc độ truyền sóng bằng $1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Chọn hệ trục $xOy$ thuộc mặt phẳng mặt nước khi yên lặng, gốc O trùng với $S_1,Ox$ chứa đoạn $S_1{S}_2$. Phía trên mặt nước có một chất điểm chuyển động thẳng đều theo phương ngang với tốc độ $5\sqrt{2}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sao cho hình chiếu P của nó xuống mặt nước chuyển động với phương trình quỹ đạo $\mathrm{y}=\mathrm{x}+2$. Trong thời gian $\mathrm{t}=2\mathrm{s}$ kể từ lúc P có tọa độ ${\mathrm{x}}_{\mathrm{P}}=0$ thì P cắt bao nhiêu vân cực đại trong vùng giao thoa sóng?

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z ,$ cho hai đường thẳng $\left(\Delta\right)_{1} : \dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2}$ và $\left(\Delta\right)_{2} : \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 1}{3}$. Phương trình đường thẳng song song với $d : \left{ x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t$ và cắt hai đường thẳng $\left(\Delta\right)_{1} ; \left(\Delta\right)_{2}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho $\overset{\rightarrow}{u} \left( 1 ; - 2 ; 3 \right) , \overset{\rightarrow}{v} \left( 2 ; 1 ; - 1 \right)$. Tích vô hướng của hai vecto đã cho bằng