Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; 2 \right) \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; 1 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right) : a x + b y + z + c = 0$ chứa $A \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó biểu thức $T = a + b + c$ có giá trị bằng

A.  

$- 1$.

B.  

$- 2$.

C.  

$2$.

D.  

$1$.

Đáp án đúng là: C

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; 2 \right) \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; 1 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right) : a x + b y + z + c = 0$ chứa $A \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó biểu thức $T = a + b + c$ có giá trị bằng
A. $- 1$. B. $- 2$. C. $2$. D. $1$.
Lời giải.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n_{\left( P \right)}} = \left( 1 \textrm{ } ; 1 \textrm{ } ; 1 \right)$.
Vectơ $\overset{\rightarrow}{A B} = \left( 1 \textrm{ } ; 2 \textrm{ } ; - 1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $A \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên nó có một véctơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n_{\left( Q \right)}} = \left[\right. \overset{\rightarrow}{n_{\left( P \right)}} \textrm{ } , \overset{\rightarrow}{A B} \left] = \left(\right. - 3 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \right)$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $- 3 \left( x - 1 \right) + 2 \left( y + 1 \right) + \left( z - 2 \right) = 0 \Leftrightarrow - 3 x + 2 y + z + 3 = 0$.
Suy ra $a = - 3 \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } b = 2 \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } c = 3$.
Vậy $T = a + b + c = 2$.