Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a ,$ $\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ$ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng $\left( S A B \right)$ và $\left( S B C \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{4} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A.
$\dfrac{a \sqrt{183}}{6}$ .
B.
$\dfrac{a \sqrt{183}}{3}$ .
C.
$\dfrac{5 a \sqrt{3}}{12}$ .
D.
$\dfrac{3 a \sqrt{5}}{12}$ .
Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a ,$ $\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ$ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng $\left( S A B \right)$ và $\left( S B C \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{4} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{a \sqrt{183}}{6}$ . B. $\dfrac{a \sqrt{183}}{3}$ . C. $\dfrac{5 a \sqrt{3}}{12}$ . D. $\dfrac{3 a \sqrt{5}}{12}$ .
Lời giải

S A \bot A C , \textrm{ } S B \bot B C

nên

S , A , B , C

nằm trên mặt cầu đường kính

S C

,
Ta có

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \left(sin45\right)^{0} = 10 a^{2} \Rightarrow A C = a \sqrt{10}

.
Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

S

lên

\left( A B C \right)

.
Ta có

C A \bot S A

và

C A \bot S H

nên

C A \bot H A

.
Tương tự:

C B \bot H B

.
Khi đó

A B C H

nội tiếp đường tròn đường kính

H C

nên

H C = \dfrac{A C}{\left(sin45\right)^{0}} = 2 \sqrt{5} a

.
Ta có:

H B = \sqrt{H C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{2}

Gọi

K , I

là hình chiếu vuông góc của

C

và của

H

lên

A B

. Khi đó

\Delta C K B

và

\Delta H I B

vuông cân nên

C K = \dfrac{3 \sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = 3 a

và

H I = \dfrac{H B}{\sqrt{2}} = a

.
Do đó

\dfrac{d \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right)}{d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right)} = \dfrac{H I}{C K} = \dfrac{1}{3}

Ta có

sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \dfrac{d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right)}{C B} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right) = C B . \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{3 a}{2} \Rightarrow d \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right) = \dfrac{a}{2}

.
Khi đó

\dfrac{1}{S H^{2}} = \dfrac{1}{d^{2} \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right)} - \dfrac{1}{H I^{2}} = \dfrac{4}{a^{2}} - \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}} \Rightarrow S H^{2} = \dfrac{a^{2}}{3}

.
Vậy

S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{3} + 20 a^{2}} = \dfrac{a \sqrt{183}}{3}

, suy ra bán kính mặt cầu

R = \dfrac{a \sqrt{183}}{6}

Câu hỏi tương tự:

#8492 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp có diện tích đáy bằng $6 a^{2}$ và chiều cao bằng $10 a$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

Lượt xem: 144,407 Cập nhật lúc: 03:36 16/01/2025

#8923 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ . Biết $S A \bot \left( A B C D \right)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là:

Lượt xem: 151,789 Cập nhật lúc: 09:07 18/01/2025

#7524 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a , S A = 2 a$ và $S A$ vuông góc với đáy. Tính theo $a$ khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( S B D \right)$ .

Lượt xem: 128,004 Cập nhật lúc: 04:20 17/01/2025

#8880 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy. Biết rằng $A B = a \textrm{ } , \textrm{ } S D = a \sqrt{5}$ . Góc giữa đường thẳng $A C$ và mặt phẳng $\left( S C D \right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Lượt xem: 151,055 Cập nhật lúc: 10:39 18/01/2025

#8566 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Goi $M$ là trung điem cua cạnh $S A$ . Mặt phȁng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và song song với mặt phȁng $\left( S B C \right)$ chia khối chóp $S . A B C D$ thành hai phần. Tính tỉ số của thể tích phần chứa đỉnh $S$ và thể tích phần còn lại.

Lượt xem: 145,662 Cập nhật lúc: 11:02 18/01/2025

#8334 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông $A B C D$ cạnh $a$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là

Lượt xem: 141,762 Cập nhật lúc: 23:38 16/01/2025

#8304 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành, trên cạnh $S A$ lấy điểm $M$ và đặt $\dfrac{S M}{S A} = x$ . Giá trị $x$ để mặt phẳng $\left( M B C \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

Lượt xem: 141,266 Cập nhật lúc: 04:37 17/01/2025

#8944 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $\text{ABCD}$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $\text{AD}$ . Gọi $V_{1} , V_{2}$ lần lượt là thể tích của hai khối chóp $S . A B M$ và $S . A B C$ thì $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

Lượt xem: 152,090 Cập nhật lúc: 05:27 16/01/2025

#7694 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông $A B C D$ tâm $O$ , $S A = 2 a \sqrt{2}$ . Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( A B C D \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $O A$ , biết tam giác $S B D$ vuông tại S. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( S B C \right)$ bằng

Lượt xem: 130,872 Cập nhật lúc: 00:38 16/01/2025

Đề thi chứa câu hỏi này:

Đề Thi Thử TN THPT 2023 Môn Toán - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 1 (Có Giải Chi Tiết)THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

246 lượt xem 63 lượt làm bài

LetQA - Nền tảng trắc nghiệm & đề thi đa lĩnh vực

Về chúng tôi

LetQA là công cụ hỗ trợ học sinh, sinh viên, giáo viên, tổ chức trong việc ôn luyện, kiểm tra kiến thức; được cung cấp miễn phí cho tất cả người dùng.
LetQA không cung cấp dịch vụ mạng xã hội, không cung cấp thông tin tổng hợp và không thu phí người dùng.

Thông tin liên hệ & hỗ trợ

Email: hotro@letqa.com

Facebook: Let QA (fb.com/letqavn)

Liên kết phổ biến

Yêu cầu bổ sung đề thi

Đóng góp đề thi

Website liên kết

Phần mềm kiểm tra trùng lặp Kiểm Tra Tài Liệu

Phần mềm xuất bản tạp chí điện tử VOJS

Công cụ kiểm tra chính tả và thể thức Viver

Công cụ hỗ trợ trích dẫn và phân tích khoa học Scholar Hub