Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #11408

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có AB=4a,BC=32a,A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a , ABC^=45∘;SAC^=SBC^=90∘\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right)và (SBC)\left( S B C \right) bằng 24.\dfrac{\sqrt{2}}{4} . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A.  

a1836\dfrac{a \sqrt{183}}{6}.

B.  

a1833\dfrac{a \sqrt{183}}{3}.

C.  

5a312\dfrac{5 a \sqrt{3}}{12}.

D.  

3a512\dfrac{3 a \sqrt{5}}{12}.

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có AB=4a,BC=32a,A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a , ABC^=45∘;SAC^=SBC^=90∘\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right)và (SBC)\left( S B C \right) bằng 24.\dfrac{\sqrt{2}}{4} . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A. a1836\dfrac{a \sqrt{183}}{6}. B. a1833\dfrac{a \sqrt{183}}{3}. C. 5a312\dfrac{5 a \sqrt{3}}{12}. D. 3a512\dfrac{3 a \sqrt{5}}{12}.
Lời giải



Do SA⊥AC, SB⊥BCS A \bot A C , \textrm{ } S B \bot B C nên S,A,B,CS , A , B , C nằm trên mặt cầu đường kính SCS C,
Ta có AC2=AB2+BC2−2AB.BC.(sin45)0=10a2⇒AC=a10A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \left(sin45\right)^{0} = 10 a^{2} \Rightarrow A C = a \sqrt{10}.
Gọi HH là hình chiếu vuông góc của SS lên (ABC)\left( A B C \right).
Ta có CA⊥SAC A \bot S A và CA⊥SHC A \bot S H nên CA⊥HAC A \bot H A.
Tương tự: CB⊥HBC B \bot H B.
Khi đó ABCHA B C H nội tiếp đường tròn đường kính HCH C nên HC=AC(sin45)0=25aH C = \dfrac{A C}{\left(sin45\right)^{0}} = 2 \sqrt{5} a.
Ta có: HB=HC2−BC2=a2H B = \sqrt{H C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{2}
Gọi K,IK , I là hình chiếu vuông góc của CC và của HH lên ABA B. Khi đó ΔCKB\Delta C K B và ΔHIB\Delta H I Bvuông cân nên CK=32a2=3aC K = \dfrac{3 \sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = 3 a và HI=HB2=aH I = \dfrac{H B}{\sqrt{2}} = a.
Do đó d(H,(SAB))d(C,(SAB))=HICK=13\dfrac{d \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right)}{d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right)} = \dfrac{H I}{C K} = \dfrac{1}{3}
Ta có sinα=24⇒d(C,(SAB))CB=24⇒d(C,(SAB))=CB.24=3a2⇒d(H,(SAB))=a2sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \dfrac{d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right)}{C B} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow d \left(\right. C , \left( S A B \right) \left.\right) = C B . \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{3 a}{2} \Rightarrow d \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right) = \dfrac{a}{2}.
Khi đó 1SH2=1d2(H,(SAB))−1HI2=4a2−1a2=3a2⇒SH2=a23\dfrac{1}{S H^{2}} = \dfrac{1}{d^{2} \left(\right. H , \left( S A B \right) \left.\right)} - \dfrac{1}{H I^{2}} = \dfrac{4}{a^{2}} - \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}} \Rightarrow S H^{2} = \dfrac{a^{2}}{3}.
Vậy SC=SH2+HC2=a23+20a2=a1833S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{3} + 20 a^{2}} = \dfrac{a \sqrt{183}}{3}, suy ra bán kính mặt cầu R=a1836R = \dfrac{a \sqrt{183}}{6}.


 

Câu hỏi tương tự:

#8916 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp đều S.ABCS . A B C có AB=a,SA=4aA B = a , S A = 4 a. Côsin của góc giữa đường thẳng SCS C với mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right) bằng

Lượt xem: 151,644 Cập nhật lúc: 06:41 21/11/2024

#7680 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy là tam giác đều, SAS A vuông góc với đáy và AB=2SAA B = 2 S A (tham khảo hình vẽ).



Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)\left( S B C \right) và (ABC)\left( A B C \right) bằng

Lượt xem: 130,587 Cập nhật lúc: 12:26 18/11/2024

#7807 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S⋅ABCDS \cdot A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa. Biết tam giác SABS A B đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi MM là trung điểm của SDS D. Gọi α\alpha là góc giữa hai mặt phẳng (MBC)\left( M B C \right) và (ABCD)\left( A B C D \right). Tính cosα\text{cos} \alpha.

Lượt xem: 132,749 Cập nhật lúc: 23:56 18/11/2024

#7569 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình chữ nhật, AB=2aA B = 2 a, AD=3aA D = 3 a, mặt bên SABS A B là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) và (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 128,704 Cập nhật lúc: 23:57 18/11/2024

#8198 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C Dcó đáy ABCDA B C D là hình chữ nhật có AB=3aA B = 3 a, AD=aA D = a, SAS A vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2aS A = 2 a. Gọi MM là điểm thuộc đoạn thẳng DCD C sao cho DC=3DMD C = 3 D M. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BMB M và SDS D bằng

Lượt xem: 139,395 Cập nhật lúc: 23:57 18/11/2024

#8302 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh a3a \sqrt{3}, cạnh bên SD=a6S D = a \sqrt{6} và SDS D vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SDS D và BCB C bằng

Lượt xem: 141,197 Cập nhật lúc: 23:57 18/11/2024

#7747 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABC\text{S} . \text{ABC} có đáy ABC\text{ABC} là tam giác đều cạnh a\text{a}, đường thẳng SA\text{SA} vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a2\text{SA} = \dfrac{3 \text{a}}{2}. Góc giữa hai mặt phẳng và (ABC)\left( \text{ABC} \right) bằng

Lượt xem: 131,730 Cập nhật lúc: 23:58 18/11/2024

#7785 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình thang CBA^=BAD^=90∘\widehat{C B A} = \widehat{B A D} = 90 \circ, AB=BC=2aA B = B C = 2 a, AD=aA D = a. Biết rằng SA=SBS A = S B và SCD^=90∘\widehat{S C D} = 90 \circ. Cạnh bên SAS A hợp với đáy một góc 45∘45 \circ. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) và (ABCD)\left( A B C D \right). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lượt xem: 132,411 Cập nhật lúc: 01:34 20/11/2024

#8662 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có đáy là tam giác vuông tại AA, AB=6aA B = 6 a, AC=4aA C = 4 a, SAS A vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA=aS A = a. Gọi MM là trung điểm của ABA B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SMS M và
BCB C bằng

Lượt xem: 147,285 Cập nhật lúc: 14:09 20/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

Đề Thi Thử TN THPT 2023 Môn Toán - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 1 (Có Giải Chi Tiết)THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

223 lượt xem 63 lượt làm bài