Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành, trên cạnh $S A$ lấy điểm $M$ và đặt $\dfrac{S M}{S A} = x$. Giá trị $x$ để mặt phẳng $\left( M B C \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

A.  

$x = \dfrac{1}{2} .$

B.  

$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} .$

C.  

$x = \dfrac{\sqrt{5}}{3} .$

D.  

$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{3} .$

Đáp án đúng là: B

Ta có:
$\left{ B C / / \left(\right. S A D \right) \\ B C \subset \left( B M C \right) \Rightarrow \left( S A D \right) \cap \left( B M C \right) = M N / / B C \Rightarrow \dfrac{S M}{S A} = \dfrac{S N}{S D} = x$.
$\dfrac{V_{S . M B C}}{V_{S . A B C}} = \dfrac{2 V_{S . M B C}}{V} = \dfrac{S M}{S A} = x$
$\dfrac{V_{S . M C N}}{V_{S . A C D}} = \dfrac{2 V_{S . M C N}}{V} = \dfrac{S M}{S A} \cdot \dfrac{S N}{S D} = x^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{2 \left( V_{S . M C N} + V_{S . M B C} \right)}{V} = x + x^{2} \Leftrightarrow \dfrac{2 V_{S . M B C N}}{V} = x + x^{2} \Leftrightarrow \dfrac{V_{S . M B C N}}{V} = \dfrac{x + x^{2}}{2}$ (1)
Mặt phẳng $\left( M B C \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau $\dfrac{V_{S . M N B C}}{V} = \dfrac{1}{2} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có: $1 = x + x^{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$.