Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án

Chuyên đề Toán 12
Chuyên đề 3: Nguyên hàm - Tích phân
Lớp 12;Toán

Thời gian làm bài: 1 giờ

Bạn chưa làm đề thi này!!!

Hãy bắt đầu chinh phục nào!

Xem trước nội dung:

Câu 1: 1 điểm

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + x\] là:

\[{e^x} + {x^2} + C\]

\[{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]

\[\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]

\[{e^x} + 1 + C\]

Câu 2: 1 điểm

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \]?

\[\frac{2}{3}x\sqrt x \]

\[\frac{2}{3}x\sqrt x + 2019\]

\[\frac{1}{{2\sqrt x }}\]

\[\frac{2}{3}x\sqrt x - 2020\]

Câu 3: 1 điểm

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^2} + {3^x}\] là

\[{x^3} + {3^x}\ln 3 + C\]

\[{x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\]

\[{x^3} + {3^x} + C\]

\[{x^3} + \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} + C\]

Câu 4: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}\] là:

\[{x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

\[{x^5} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

\[{x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} - 3x\sqrt[3]{x} + C\]

\[20{x^3} - \frac{6}{{{x^4}}} - \frac{1}{{3x\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C\]

Câu 5: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}\] là:

\[2{x^2} - 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

\[{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

\[2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

\[{x^2} + \sqrt x - 3\ln \left| x \right| + C\]

Câu 6: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\] là:

\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\ln 2}} + {e^{ - x}} + C\]

\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} - {e^{ - x}} + C\]

\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\]

\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^x} + C\]

Câu 7: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^{2019}}\] là:

\[ - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2018}}}}{{1009}} + C\]

\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} + \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

Câu 8: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}\] là:

\[x + \ln \sqrt {{e^{2x}} + 1} + C\]

\[x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

\[\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

\[x - \ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

Câu 9: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}\] là:

\[\frac{1}{6}\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}^3}} \right] + C\]

\[\frac{1}{6}\left[ {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right] + C\]

\[\frac{1}{6}\sqrt {x + 2} + \frac{1}{6}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} + C\]

\[\frac{1}{6}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{1}{6}\sqrt {x - 2} + C\]

Câu 10: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:

\[2\ln \left| {x - 3} \right| - 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]

\[3\ln \left| {x - 3} \right| + 2\ln \left| {x - 2} \right| + C\]

\[2\ln \left| {x + 3} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]

\[2\ln \left| {x - 3} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\]

Câu 11: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}\] là:

\[\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

\[\ln \left| x \right| - \ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

\[\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

Câu 12: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

\[\ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]

\[\ln \left| {x + 2} \right| - 2\ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]

\[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]

\[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]

Câu 13: 1 điểm

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}};\;f\left( 0 \right) = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\] là:

\[3\ln 5 + \ln 2\]

\[3\ln 2 + \ln 5\]

\[3 + 2\ln 5\]

\[3 + \ln 15\]

Câu 14: 1 điểm

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:

\[2\ln 2 - \ln 5\]

\[6\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]

\[2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]

\[6\ln 2 - 2\ln 5\]

Câu 15: 1 điểm

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x.\cos 2x\] trên \[\mathbb{R}\] ta thu được kết quả:

\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C\]

\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{5} + \sin x + C\]

\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}\sin 3x.\sin 2x + C\]

\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} - \frac{{\sin x}}{2} + C\]

Câu 16: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} \] là:

\[ - 2\sin x + 15\sin 5x + C\]

\[ - 2\sin x + \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

\[2\sin x - \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

\[2\sin x - 5\sin 5x + C\]

Câu 17: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} \] là:

\[\frac{1}{{10}}\cos 5x\cos 2x + C\]

\[\frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{{14}}\sin 7x + C\]

\[\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{7}\sin 7x + C\]

\[\frac{1}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin 7x + C\]

Câu 18: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {4{{\cos }^2}xdx} \] là:

\[4x + 2\sin 2x + C\]

\[\frac{{4{{\cos }^3}x}}{3} + C\]

\[2x - \sin 2x + C\]

\[2x + \sin 2x + C\]

Câu 19: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} \] là:

\[3x - 4\cos x - \sin 2x + C\]

\[\frac{{{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^3}}}{3} + C\]

\[3x - \sin 2x + C\]

\[3x - 4\cos x + \sin 2x + C\]

Câu 20: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} \] là:

\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

\[\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

\[x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\]

\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

Câu 21: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

\[ - \tan x - \cot x + C\]

\[\tan x - \cot x + C\]

\[\tan x + \cot x + C\]

\[\cot x - \tan x + C\]

Câu 22: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} \] là:

\[\frac{{\cot 2x}}{2} + C\]

\[\tan 2x + C\]

\[\cot 2x + C\]

\[\frac{{\tan 2x}}{2} + C\]

Câu 23: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\cos }^3}xdx} \] là:

\[\frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]

\[3\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + C\]

\[\sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\]

\[4\sin x - \frac{4}{3}\sin 3x + C\]

Câu 24: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\tan }^3}xdx} \] là:

\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]

\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\sin x} \right| + C\]

\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]

\[\frac{{{{\tan }^4}x}}{{4{{\cos }^2}x}} + C\]

Câu 25: 1 điểm

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:

\[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]

\[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]

\[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]

\[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]

Câu 26: 1 điểm

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^4}2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2019\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right)\] là:

\[\frac{{3\pi + 16153}}{{64}}\]

\[\frac{{3\pi + 129224}}{8}\]

\[\frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]

\[\frac{{3\pi - 129224}}{{32}}\]

Câu 27: 1 điểm

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:

\[\frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{3}\]

\[\frac{1}{3}\]

Câu 28: 1 điểm

Một chất điểm chuyển động với phương trình \[S = \frac{1}{2}{t^2}\], trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[{t_0} = 5\left( s \right)\] là:

5 (m/s).

25 (m/s).

2,5 (m/s.)

10 (m/s).

Câu 29: 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = 10 - 2t\left( {m/s} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

50 (m).

25 (m).

55 (m).

10 (m).

Câu 30: 1 điểm

Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

10 m/s.

15,2 m/s.

13,2 m/s.

12 m/s.

Câu 31: 1 điểm

Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc \[a\left( t \right) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

5,6 m/s.

6,51 m/s.

7,26 m/s.

6,8 m/s.

Câu 32: 1 điểm

Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

0,45 m/s.

0,4 m/s.

0,6 m/s.

0,8 m/s.

Câu 33: 1 điểm

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\] là:

\[\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\]

\[\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} + C\]

\[\frac{{\ln x}}{2} + C\]

\[{\ln ^2}x + C\]

Câu 34: 1 điểm

Cho \[I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]. Bằng phép đổi biến \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \], khẳng định nào sau đây sai?

\[{x^2} = {u^2} - 1\]

\[xdx = udu\]

\[I = \int {\left( {{u^2} - 1} \right).udu} \]

\[I = \frac{{{u^3}}}{3} - u + C\]

Câu 35: 1 điểm

Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}.{e^{{x^3} + 1}}\], biết \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] là:

\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\]

\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + 2019\]

\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + \frac{1}{3}\]

\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}}\]

Câu 36: 1 điểm

Nguyên hàm \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} \] là:

\[M = \frac{1}{3}\ln \left( {1 + 3\cos x} \right) + C\]

\[M = \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

\[M = - \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

\[M = - \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

Câu 37: 1 điểm

Nguyên hàm \[P = \int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} \] là:

\[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

\[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\]

\[P = \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

\[P = \frac{3}{4}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

Câu 38: 1 điểm

Nguyên hàm \[R = \int {\frac{1}{{x\sqrt {x + 1} }}dx} \] là:

\[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]

\[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

\[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]

\[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

Câu 39: 1 điểm

Nguyên hàm \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \] là:

\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^4}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

\[S = \frac{{\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3{\left( {{x^2} + 9} \right)^2}\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

Câu 40: 1 điểm

Nguyên hàm \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \] là:

\[T = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x + 1} }} + C\]

\[T = 2\sqrt {\ln x + 1} + C\]

\[T = \frac{2}{3}\left( {\ln x + 1} \right)\sqrt {\ln x + 1} + C\]

\[T = \sqrt {\ln x + 1} + C\]

Câu 41: 1 điểm

Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:

\[U = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

\[U = \frac{1}{{6060}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2020}} + C\]

\[U = \frac{1}{{6063}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

\[U = \frac{1}{{6069}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2023}} + C\]

Câu 42: 1 điểm

Xét nguyên hàm \[V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} \]. Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \], khẳng định nào sau đây sai?

\[\frac{{dx}}{x} = \left( {2u - 2} \right)du\]

\[V = \int {\frac{{{{\left( {{u^2} - 2u} \right)}^2}}}{u}.\left( {2u - 2} \right)du} \]

\[V = \frac{2}{5}{u^5} - \frac{5}{2}{u^4} + \frac{{16}}{3}{u^3} - 4{u^2} + C\]

\[V = \frac{{{u^5}}}{5} + \frac{{{u^4}}}{2} - \frac{{16}}{3}{u^3} + 4{u^2} + C\]

Câu 43: 1 điểm

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:

\[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]

\[F\left( {2019\pi } \right) = 0\]

\[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{2}{{15}}\]

\[F\left( {2019\pi } \right) = \frac{1}{{15}}\]

Câu 44: 1 điểm

Biết rằng \[\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C} \] (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình \[g\left( x \right) = 0\]. Tổng các phần tử của S bằng:

\[ - 3 + \sqrt 5 \]

\[ - 3\]

\[ - 3 - \sqrt 5 \]

Câu 45: 1 điểm

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] trên khoảng \[\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\] thỏa mãn \[F\left( 2 \right) = 0\]. Khi đó phương trình \[F\left( x \right) = x\] có nghiệm là:

\[x = 0\]

\[x = 1\]

\[x = - 1\]

\[x = 1 - \sqrt 3 \]

Câu 46: 1 điểm

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là

\[\frac{{2019}}{{2020}}\]

\[\frac{{2019.2021}}{{2020}}\]

\[2018\frac{1}{{2020}}\]

\[ - \frac{{2019}}{{2020}}\]

Câu 47: 1 điểm

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[f\left( 1 \right)\] là:

\[6\sqrt 2 \]

\[\sqrt {10} \]

\[5\sqrt 3 \]

\[2\sqrt 6 \]

Câu 48: 1 điểm

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 3\] và \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\]. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] là:

\[2\sqrt[3]{{42}}\]

\[2\sqrt[3]{{15}}\]

\[\sqrt[3]{{42}}\]

\[\sqrt[3]{{15}}\]

Câu 49: 1 điểm

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:

\[\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]

\[2\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

\[\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]

\[2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Câu 50: 1 điểm

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} \] là:

\[\sqrt[3]{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} + C\]

\[\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

\[\frac{x}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }} + C\]

\[\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x} + C\]

Câu 51: 1 điểm

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \] là:

\[\arctan x + C\]

\[{\mathop{\rm arccot} olimits} x + C\]

\[\arcsin x + C\]

\[\arccos x + C\]

Câu 52: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[\int {x{e^x}dx} \] là:

\[x{e^x} - {e^x} + C\]

\[\frac{{{x^2}}}{2}{e^x} + C\]

\[x{e^x} + {e^x} + C\]

\[x{e^x} + x + C\]

Câu 53: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} \] là:

\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + x + C\]

\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - x + C\]

\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]

\[\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]

Câu 54: 1 điểm

Tìm \[\int {{e^x}.\sin xdx} \]

\[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

\[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

Câu 55: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right)dx} \] là:

\[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

\[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

\[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + C\]

\[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Câu 56: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x + 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left( {\cos x} \right) + C\]

\[\left( {\cot x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

Câu 57: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {{x^2}\sin 5xdx} \] là:

\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x - \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

\[\frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

Câu 58: 1 điểm

Nguyên hàm \[I = \int {{x^4}{e^{3x}}dx} \] là:

\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} - \frac{{24x}}{{{3^4}}} + \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]

\[I = \frac{{{x^5}}}{5}.\frac{{{e^{3x}}}}{3} + C\]

\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} + \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} - \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} + \frac{{24x}}{{{3^4}}} - \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]

\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}}} \right){e^{3x}} + C\]

Câu 59: 1 điểm

Nguyên hàm \[I = \int {{e^x}\sin xdx} \] là:

\[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

\[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

Câu 60: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x.\ln xdx} \] là:

\[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

\[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

\[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

\[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Câu 61: 1 điểm

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\left( {4x - 1} \right).{{\ln }^3}\left( {2x} \right)dx} \] là:

\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) + \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

Câu 62: 1 điểm

Cho \[F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right){e^{2x}}\]. Biết rằng hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right){e^{2x}}\] là:

\[\left( {2 - x} \right){e^x} + C\]

\[\left( {2 + x} \right){e^x} + C\]

\[\left( {1 - x} \right){e^x} + C\]

\[\left( {1 + x} \right){e^x} + C\]

Xem thêm đề thi tương tự

Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số có đáp ánLớp 12Toán

Chuyên đề Toán 12
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số
Lớp 12;Toán

151 câu hỏi 1 mã đề 1 giờ

161,930 lượt xem 87,178 lượt làm bài