Cho các số thực $x , y$ thỏa mãn e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0 . Gọi $M , m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 + x y}$. Tính $M - m$.

A.  

$M - m = 3$.

B.  

$M - m = 1$.

C.  

$M - m = \dfrac{1}{2}$.

D.  

$M - m = 2$.

Đáp án đúng là: B

$e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left( x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow e^{x^{2} + 2 y^{2} - x y} + \left( x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + y^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow e^{x^{2} + 2 y^{2} - x y} + \left( x^{2} - x y + 2 y^{2} \right) - \left( 1 + y^{2} \right) - e^{1 + y^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow e^{x^{2} + 2 y^{2} - x y} + \left( x^{2} - x y + 2 y^{2} \right) = e^{1 + y^{2}} + \left( 1 + y^{2} \right)$
Xét hàm số $f \left( t \right) = e^{t} + t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
$f \left[\right. x^{2} - x y + 2 y^{2} \left]\right. = f \left( 1 + y^{2} \right) \Rightarrow x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1 + y^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2} - x y + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \left( x + y \right)^{2} - 3 x y = 1$
Đặt $u = x + y \Rightarrow x y = \dfrac{u^{2} - 1}{3}$
Ta có $\left( x + y \right)^{2} \geq 4 x y \Rightarrow u^{2} \geq 4 . \dfrac{u^{2} - 1}{3} \Rightarrow - 2 \leq u \leq 2$
Do đó $P = \dfrac{1}{1 + x y} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{u^{2} - 1}{3}} = \dfrac{3}{u^{2} + 2}$
Xét hàm số $f \left( u \right) = \dfrac{3}{u^{2} + 2} \Rightarrow f^{'} \left( u \right) = \dfrac{- 6 u}{\left( u^{2} + 2 \right)^{2}}$
$f^{'} \left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = 0$
Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta được $\left{\right. m = \dfrac{1}{2} \\ M = \dfrac{3}{2} \Rightarrow M - m = 1$.