Cho các số thực $x , y$ thỏa mãn $x . \sqrt[5]{x} . \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2 x + 2 y}{5}} \geq \dfrac{2}{5} \left(\text{e}\right)^{x + y} + \dfrac{3}{5} x^{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x^{2} - y$ là

A.  

$min P = \dfrac{5}{4} + ln2$.

B.  

$min P = ln6$.

C.  

$min P = ln3$.

D.  

$min P = \dfrac{2}{3} - 2ln \dfrac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Chọn D
Ta có $\dfrac{2}{5} \left(\text{e}\right)^{x + y} + \dfrac{3}{5} x^{2} \geq 5 \sqrt[5]{\left( \dfrac{\left(\text{e}\right)^{x + y}}{5} \right)^{2} . \left( \dfrac{x^{2}}{5} \right)^{3}} = \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2}{5} \left( x + y \right)} . x^{\dfrac{6}{5}} = x . \sqrt[5]{x} . \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2 x + 2 y}{5}}$ và $x . \sqrt[5]{x} . \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2 x + 2 y}{5}} \geq \dfrac{2}{5} \left(\text{e}\right)^{x + y} + \dfrac{3}{5} x^{2}$ nên $x . \sqrt[5]{x} . \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2 x + 2 y}{5}} = \dfrac{2}{5} \left(\text{e}\right)^{x + y} + \dfrac{3}{5} x^{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left(\text{e}\right)^{x + y} = x^{2}$ suy ra $y = ln x^{2} - x$.
Xét $f \left( x \right) = 3 x^{2} + x - ln x^{2} , x \neq 0$, $f^{'} \left( x \right) = 6 x + 1 - \dfrac{2}{x}$.
Cho $f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6 x + 1 - \dfrac{2}{x} = 0 \Leftrightarrow \left[ x = \dfrac{1}{2} \\ x = - \dfrac{2}{3} .$
Lập bảng biến thiên