Cho các số thực $x ; \textrm{ } y$ thỏa mãn $e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left( x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0$. Gọi $M , \textrm{ } m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 + x y}$. Tính $M - m$:

A.  

$M - m = 3$.

B.  

$M - m = 1$.

C.  

$M - m = 2$.

D.  

$M - m = \dfrac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Cho các số thực $x ; \textrm{ } y$ thỏa mãn $e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left( x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0$. Gọi $M , \textrm{ } m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 + x y}$. Tính $M - m$:
A. $M - m = 3$. B. $M - m = 1$. C. $M - m = 2$. D. $M - m = \dfrac{1}{2}$.
Lời giải
+ Đặt $a = x^{2} + 2 y^{2} ; \textrm{ } b = 1 + x y + y^{2} \Rightarrow a - b = x^{2} + y^{2} - 1 - x y$. Theo bài ra ta có $e^{a} + e^{x y} \left( a - b \right) - e^{b} = 0$ $\Leftrightarrow e^{a} - e^{b} = e^{x y} \left( b - a \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( \star \right)$.
+ Nếu $a > b$ thì $e^{a} - e^{b} > 0 ; \textrm{ } e^{x y} \left( b - a \right) < 0$, do đó không thỏa mãn phương trình $\left( \star \right)$, loại.
+Nếu $a < b$ thì $e^{a} - e^{b} < 0 ; \textrm{ } e^{x y} \left( b - a \right) > 0$, không thỏa mãn phương trình $\left( \star \right)$, loại.
+ Nếu $a = b$ thì $e^{a} - e^{b} = 0 = e^{x y} \left( b - a \right)$, thỏa mãn.
Vậy $a = b \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 1 - x y = 0 \Leftrightarrow 1 + x y = x^{2} + y^{2}$, khi đó $P = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}}$.
+ Ta có $x y \leq \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1 + x y \leq 1 + \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2} \leq 1 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2 \Rightarrow P \geq \dfrac{1}{2}$.
Vậy $P_{min} = \dfrac{1}{2} = m$. Dấu bằng xảy ra khi $x = y = 1$.
+Mặt khác, $x^{2} + y^{2} \geq - 2 x y \Leftrightarrow x y \geq - \dfrac{1}{2} \left( x^{2} + y^{2} \right)$, nên
$x^{2} + y^{2} = 1 + x y \geq 1 - \dfrac{1}{2} \left( x^{2} + y^{2} \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \left( x^{2} + y^{2} \right) \geq 1$ $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{2}{3} \Rightarrow P = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} \leq \dfrac{3}{2}$.
Vậy $P_{max} = \dfrac{3}{2} = M$. Dấu bằng xảy ra khi $x = - y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
+ Do đó $M - m = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$