Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + b i \textrm{ }\textrm{ } \left( a , \textrm{ } b \in R \right)$ thỏa mãn \textrm{ } \left| z + \bar{z} \left|\right. + \left|\right. z - \bar{z} \left|\right. = 2 và $a b \leq 0$. Xét $z_{1}$ và $z_{2}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\right. z_{1} \left|\right. + \left|\right. z_{2} - i \left|\right.$ bằng

A.  

$\sqrt{5}$.

B.  

$1 + \sqrt{2}$.

C.  

1.

D.  

$\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: A

$z = a + b i \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a , \textrm{ } b \in R , \textrm{ }\textrm{ } a b \leq 0 \right)$.
$\left| z + \bar{z} \left|\right. + \left|\right. z - \bar{z} \left|\right. = 2 \Leftrightarrow \left|\right. 2 a \left|\right. + \left|\right. 2 b i \left|\right. = 2$ $\Leftrightarrow \left|\right. a \left|\right. + \left|\right. b \left|\right. = 1 \Leftrightarrow \left{\right. a + b = 1 , \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } a \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } b \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. l \right) \\ a - b = 1 , \textrm{ }\textrm{ } a \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } b \leq 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( n \right) \textrm{ }\textrm{ } \left( d_{1} \right) \textrm{ } \\ - a + b = 1 , \textrm{ } a \leq 0 , \textrm{ }\textrm{ } b \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( n \right) \textrm{ }\textrm{ } \left( d_{2} \right) \\ - a - b = 1 , \textrm{ } a \leq 0 , \textrm{ } b \leq 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( l \right) \textrm{ }$
(Vì $a b \leq 0 \textrm{ }$ nên $a \textrm{ } , \textrm{ } b$ trái đấu).
Gọi M là điểm biểu diễn của $z_{1}$, N là điểm biểu diễn của $z_{2}$.
Ta có: $\dfrac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương $\Rightarrow$ $z_{1} - z_{2} = k \left( - 1 + i \right) , \textrm{ } k > 0$.
$\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{v} = \left( - 1 ; \textrm{ } 1 \right)$
$\Rightarrow \left{ \begin{matrix}N \in d_{1} : a - b = 1 \\ M \in d_{2} : \textrm{ } - a + b = 1 \\ M N = d \left(\right. d_{1} ; d_{2} \textrm{ } \right) = \sqrt{2}\end{matrix} \\ \Rightarrow \overset{\rightarrow}{M N} = \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right)$
$\left| z_{1} \left|\right. + \left|\right. z_{2} - i \left|\right. = O M + N A$ (với A là điểm biểu diễn của $i$ $\Rightarrow A \left(\right. 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \right)$).
$M \in d_{2} \Rightarrow M \left( m \textrm{ } ; \textrm{ } m + 1 \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( - 1 \leq m \leq 0 \right)$.
Mà: $\Rightarrow \overset{\rightarrow}{M N} = \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right) \Rightarrow N \left( 1 + m \textrm{ } ; \textrm{ } m \right)$.
Ta có: $P = O M + N A = \sqrt{m^{2} + \left( 1 + m \right)^{2}} + \sqrt{\left( 1 + m \right)^{2} + \left( 1 - m \right)^{2}} = \sqrt{2 m^{2} + 2 m + 1} + \sqrt{2 m^{2} + 2}$.
$P^{'} = \dfrac{4 m + 2}{2 \sqrt{2 m^{2} + 2 m + 1}} + \dfrac{4 m}{2 \sqrt{2 m^{2} + 2}}$.
$P^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 \left( 4 m + 2 \right) \sqrt{2 m^{2} + 2} + 8 m \sqrt{2 m^{2} + 2 m + 1} = 0$.
$\Leftrightarrow \left( 8 m + 4 \right) \sqrt{2 m^{2} + 2} = - 8 m \sqrt{2 m^{2} + 2 m + 1}$ $\Rightarrow \left( 8 m + 4 \right)^{2} \left( 2 m^{2} + 2 \right) = 64 m^{2} \left( 2 m^{2} + 2 m + 1 \right)$ $\Rightarrow \left[ m = - \dfrac{1}{3} \\ m = - 1$.
Bảng biến thiên

Suy ra, chọn đáp án A