Biết $F \left( x \right) = x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $ \int_{1}^{2} \left(\right. 2 + f \left( x \right) \left.\right) \text{d} x$ bằng

Cho hai hàm đa thức $y = f \left( x \right) , y = g \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị là hai đường cong như hình bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$có đúng một cực trị là $A$, đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị là $B$ và $A B = 10$. Số giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $y = \left|\right. \left|\right. f \left( x \right) - g \left( x \right) \left|\right. - \dfrac{2 m}{3} - 4 \left|\right.$ có đúng $7$điểm cực trị là.

Biết $F \left( x \right) = 2^{x} - x$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f \left( x \right)$ trên $\mathbb{R} .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right) = 2 x + \dfrac{1}{x}$ trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ sao cho $F \left( 1 \right) = 0 .$ Tính $F \left( 2 \right) .$

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$trên $\mathbb{R}$ và $F \left( - 2 \right) = - 12 , F \left( 4 \right) = - 6$. Tính $\int_{- 2}^{4} f \left( x \right) \text{d} x$.

Cho hàm số

Cho $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{x^{2} + 1}{x \sqrt{x^{4} + 1}}$ với x>0 thỏa mãn $F \left( 1 \right) = 1$. Biết $F \left( 2 \right) = ln \left( \dfrac{a + \sqrt{b}}{2 \sqrt{2}} \right) + 1$, với a,b,clà các số nguyên dương. Tính $a + b$.

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm là $f^{'} \left( x \right) = x . e^{x} , \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 1 .$ Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f \left( x \right)$ thỏa mãn $F \left( 2 \right) = 5 .$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

Giả sử $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f \left( x \right) = \dfrac{2 x - 1}{\left( x + 1 \right)^{2}}$ sao cho $F \left( 0 \right) = 2$. Biết $F \left( 2 \right) = a ln3 + b \left( a , b \in \mathbb{Z} \right)$. Tính $a + b$.

Trong thí nghiệm về giao thoa sóng ở mặt chất lỏng, tại hai điểm $S_1$ và $S_2$ có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng phát ra hai sóng kết hợp với tần số $20\mathrm{H}\mathrm{z}$. Ở mặt chất lỏng, tại điểm M cách ${\mathrm{S}}_1$ và ${\mathrm{S}}_2$ lần lượt là $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ và $14\mathrm{c}\mathrm{m}$ có cực tiểu giao thoa. Biết số cực đại giao thoa trên các các đoạn đoạn thẳng ${\mathrm{M}\mathrm{S}}_1$ và ${\mathrm{M}\mathrm{S}}_2$ lần lượt là m và $\mathrm{m}+5$. Với m là một số nguyên dương. Tốc độ truyền sóng ở mặt chất lỏng là