Cho $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{x^{2} + 1}{x \sqrt{x^{4} + 1}}$ với x>0 thỏa mãn $F \left( 1 \right) = 1$. Biết $F \left( 2 \right) = ln \left( \dfrac{a + \sqrt{b}}{2 \sqrt{2}} \right) + 1$, với a,b,clà các số nguyên dương. Tính $a + b$.

Cho hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{2}{5} x^{5} - \dfrac{m}{2} x^{4} + \dfrac{4 \left( m + 3 \right)}{3} x^{3} - \left( m + 7 \right) x^{2}$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có đúng một điểm cực đại?

Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right) = 2 x + \dfrac{1}{x}$ trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ sao cho $F \left( 1 \right) = 0 .$ Tính $F \left( 2 \right) .$

Cho hai hàm đa thức $y = f \left( x \right) , y = g \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị là hai đường cong như hình bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$có đúng một cực trị là $A$, đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị là $B$ và $A B = 10$. Số giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $y = \left|\right. \left|\right. f \left( x \right) - g \left( x \right) \left|\right. - \dfrac{2 m}{3} - 4 \left|\right.$ có đúng $7$điểm cực trị là.

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$trên $\mathbb{R}$ và $F \left( - 2 \right) = - 12 , F \left( 4 \right) = - 6$. Tính $\int_{- 2}^{4} f \left( x \right) \text{d} x$.

Cho hàm số

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm là $f^{'} \left( x \right) = x . e^{x} , \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 1 .$ Biết $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f \left( x \right)$ thỏa mãn $F \left( 2 \right) = 5 .$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f \left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1 ; 8 \left]\right.$ và thỏa mãn
$\int_{1}^{2} \left(\left[\right. f \left(\right. x^{3} \right) \left]\right)^{2} \text{d} x + 2 \int_{1}^{2} f \left(\right. x^{3} \right) \text{d} x - \dfrac{4}{3} \int_{1}^{8} f \left( x \right) \text{d} x = - \dfrac{247}{15}$.
Giả sử rằng $F \left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f \left( x \right)$ trên $\left[\right. 1 ; 8 \left]\right.$. Tích phân $\int_{1}^{8} x \cdot F^{'} \left( x \right) \text{d} x$ bằng

Cho $F \left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm $f \left( x \right) = sin2 x$ và $F \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$. Tính $F \left( \dfrac{\pi}{6} \right)$.

Cho $y = f \left( x \right)$là một nguyên hàm của $f^{'} \left( x \right) = 3 x^{2} + 2 x - m + 1$ thỏa mãn $f \left( 2 \right) = 1$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?