Biết $I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x + x cos x - \left(sin\right)^{3} x}{1 + cos x} \text{d} x = \dfrac{\left(\pi\right)^{2}}{a} - \dfrac{b}{c}$. Trong đó $a$, $b$, $z + \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2} . i - 1 - \dfrac{3}{4} i = 0$ là các số nguyên dương, phân số $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$.

A.  

$T = 50$.

B.  

$T = 59$.

C.  

$T = 16$.

D.  

$T = 69$.

Đáp án đúng là: D

Biết $I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x + x cos x - \left(sin\right)^{3} x}{1 + cos x} \text{d} x = \dfrac{\left(\pi\right)^{2}}{a} - \dfrac{b}{c}$. Trong đó $a$, $b$, $z + \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2} . i - 1 - \dfrac{3}{4} i = 0$ là các số nguyên dương, phân số $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
A. $T = 50$. B. $T = 59$. C. $T = 16$. D. $T = 69$.
Lời giải
$I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x + x cos x - \left(sin\right)^{3} x}{1 + cos x} \text{d} x = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left(\right. x - \dfrac{1}{2} sin2 x \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } d x = \left( \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{1}{4} cos2 x \right) \left| \dfrac{\pi}{2} \\ 0 = \dfrac{\left(\pi\right)^{2}}{8} - \dfrac{1}{2}$.
$\Rightarrow \dfrac{\left(\pi\right)^{2}}{a} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{\left(\pi\right)^{2}}{8} - \dfrac{1}{2}$.
$\Rightarrow \left{\right. a = 8 \\ b = 1 \\ c = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 69$.