Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ - 20 ; 20 \left]\right. để bất phương trình $\left(log\right)_{3} x^{2} + m \sqrt{\left(log\right)_{3} x^{3}} + m + 1 \leq 0$ có không quá 20 nghiệm nguyên?

A.  

$23 .$

B.  

$20 .$

C.  

$21 .$

D.  

$22 .$

Đáp án đúng là: D

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 20 ; 20 \left]\right.$ để bất phương trình $\left(log\right)_{3} x^{2} + m \sqrt{\left(log\right)_{3} x^{3}} + m + 1 \leq 0$ có không quá 20 nghiệm nguyên?
A. $23 .$B. $20 .$C. $21 .$D. $22 .$
Lời giải
Điều kiện $\left{\right. x > 0 \\ \left(log\right)_{3} x^{3} \geq 0 \Leftrightarrow \left{\right. x > 0 \\ x^{3} \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1$.
Ta có: $\left(log\right)_{3} x^{2} + m \sqrt{\left(log\right)_{3} x^{3}} + m + 1 \leq 0$ $\Leftrightarrow \left(2log\right)_{3} x + m \sqrt{\left(3log\right)_{3} x} + m + 1 \leq 0$.
Đặt $\sqrt{\left(3log\right)_{3} x} = t \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. t \geq 0 \right) \Rightarrow \left(log\right)_{3} x = \dfrac{t^{2}}{3}$.
Ta có bất phương trình $\dfrac{2}{3} t^{2} + m t + m + 1 \leq 0 \Leftrightarrow 3 m \leq \dfrac{- 2 t^{2} + 3}{t + 1}$.
Nhận xét: Xét hàm số $f \left( t \right) = \dfrac{- 2 t^{2} + 3}{t + 1}$ trên $\left[ 0 ; + \infty \right)$ ta có:
$f ' \left( t \right) = \dfrac{- 2 t^{2} + 4 t - 3}{\left(\left( t + 1 \right)\right)^{2}}$. Giải phương trình $f ' \left( t \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ t = \dfrac{- 2 - \sqrt{10}}{2} \textrm{ } \left(\right. L \right) \\ t = \dfrac{- 2 + \sqrt{10}}{2} \textrm{ } \left( T M \right)$.
Bảng biến thiên:

Bất phương trình $\left(log\right)_{3} x^{2} + m \sqrt{\left(log\right)_{3} x^{3}} + m + 1 \leq 0$ có không quá 20 nghiệm nguyên
$\Leftrightarrow 3 a > \dfrac{- \left(6log\right)_{3} 21 + 3}{\sqrt{\left(3log\right)_{3} 21} + 1}$ $\Leftrightarrow \dfrac{- \left(2log\right)_{3} 21 + 1}{\sqrt{\left(3log\right)_{3} 21} + 1} \approx \textrm{ } - 1 , 685$.
Tập các giá trị của $m$ thỏa mãn là: $\left{ - 1 ; 0 ; . . . ; 20 \right}$ $\Rightarrow$ Có 22 giá trị của $m$ thỏa mãn.