Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. \leq 3$?

A.  

$5$

B.  

$6$

C.  

$8$

D.  

$3$

Đáp án đúng là: D

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. \leq 3$?
A. $5$B. $6$C. $8$D. $3$
Lời giải
Xét hàm $f \left( x \right) = x^{3} - 3 x^{2} + m$ trên đoạn $\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.$.
Ta có: $f ' \left( x \right) = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ x = 2$
Bảng biến thiên:

+ TH1: $m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4$ thì $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. = m$.
Khi đó $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. \leq 3 \Leftrightarrow m \leq 3$(Loại).
+ TH2: $m < 0 \Leftrightarrow m < 0$ thì $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. = 4 - m$.
Khi đó $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. \leq 3 \Leftrightarrow 4 - m \leq 3 \Leftrightarrow m \geq 1$(Loại).
+ TH3: $\left{\right. m \geq 0 \\ m - 4 \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. m \geq 0 \\ m \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ thì $\underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. = max \left{\right. 4 - m ; m \right}$.
Khi đó $\underset{\left[ 1 ; 3 \left]\right.}{max} \left|\right. x^{3} - 3 x^{2} + m \left|\right. \leq 3 \Leftrightarrow \left[\right. \left{\right. \begin{matrix}4 - m \leq 3 \\ 4 - m \geq m\end{matrix} \\ \left{\right. \begin{matrix}m \leq 3 \\ m \geq 4 - m\end{matrix} \Leftrightarrow \left[\right. 1 \leq m \leq 2 \\ 2 \leq m \leq 3$
Kết hợp điều kiện và $m \in \mathbb{Z}$ ta suy ra có $3$ giá trị nguyên tham số $m$là $m \in \left{\right. 1 ; 2 ; 3 \right}$.