Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = 3 x^{4} - 4 \left( 4 + m \right) x^{3} + 12 \left( 3 - m \right) x + 2$ có ba điểm cực trị?

A.  

$2$.

B.  

$3$.

C.  

$5$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: B

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = 3 x^{4} - 4 \left( 4 + m \right) x^{3} + 12 \left( 3 - m \right) x + 2$ có ba điểm cực trị?
A. $2$. B. $3$. C. $5$. D. $4$.
Lời giải
Ta có $y^{'} = 12 x^{3} - 12 \left( 4 + m \right) x^{2} + 12 \left( 3 - m \right)$ nên
$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 4 x^{2} + 3 = \left( x^{2} + 1 \right) m \Leftrightarrow m = x - 4 + \dfrac{- x + 7}{x^{2} + 1}$.
Đặt $f \left( x \right) = x - 4 + \dfrac{- x + 7}{x^{2} + 1}$, $f^{'} \left( x \right) = 1 + \dfrac{x^{2} - 14 x - 1}{\left(\left( x^{2} + 1 \right)\right)^{2}}$.
$f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x^{4} + 3 x^{2} - 14 x = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = 2 .$
Lập bảng biến thiên

Hàm số $y = 3 x^{4} - 4 \left( 4 + m \right) x^{3} + 12 \left( 3 - m \right) x + 2$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $m = x - 4 + \dfrac{- x + 7}{x^{2} + 1}$ có ba nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $- 1 < m < 3$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left{ 0 ; 1 ; 2 \right}$.
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.