Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left( - 2022 ; 2022 \right)$ để hàm số $y = \left| x^{3} + \left(\right. 2 m + 1 \right) x - 2 \left|$ đồng biến trên khoảng $\left(\right. 1 ; 3 \right) ?$

A.  

$4034$.

B.  

$4032$.

C.  

$4030$.

D.  

$2022$.

Đáp án đúng là: C

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left( - 2022 ; 2022 \right)$ để hàm số $y = \left| x^{3} + \left(\right. 2 m + 1 \right) x - 2 \left|$ đồng biến trên khoảng $\left(\right. 1 ; 3 \right) ?$
A. $4034$. B. $4032$. C. $4030$. D. $2022$.
Lời giải
Xét $f \left( x \right) = x^{3} + \left( 2 m + 1 \right) x - 2 \Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 3 x^{2} + \left( 2 m + 1 \right)$
TH1: $\left{\right. f^{'} \left( x \right) \geq 0 , \text{ } \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \\ f \left( 1 \right) \geq 0 \Leftrightarrow \left{\right. 3 x^{2} + \left( 2 m + 1 \right) \geq 0 , \text{ } \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \\ 2 m \geq 0 \Leftrightarrow \left{\right. \underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{min} x^{2} \geq - \dfrac{2 m + 1}{3} \\ m \geq 0$
Vì $\left{\right. m \in \left( - 2022 ; 2022 \right) \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{ 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 2021 \right} \text{ } \left( 1 \right)$
TH2: $\left{\right. f^{'} \left( x \right) \leq 0 \text{ } \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \\ f \left( 1 \right) \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. 3 x^{2} + \left( 2 m + 1 \right) \leq 0 \text{ } \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \\ 2 m \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. \underset{\left[\right. 1 ; 3 \left]\right.}{max} x^{2} \leq - \dfrac{2 m + 1}{3} \\ m \leq 0$
$\Leftrightarrow \left{\right. 9 \leq - \dfrac{2 m + 1}{3} \\ m \leq 0 \Leftrightarrow \left{\right. m \leq - 14 \\ m \leq 0 \Rightarrow m \leq - 14$
Vì $\left{\right. m \in \left( - 2022 ; 2022 \right) \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{ - 2021 ; - 2020 ; . . . ; - 14 \right} \text{ } \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right) , \left( 2 \right)$ có $4030$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.