Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f \left( x \right) = \left( m + 1 \right) x^{3} - \left( 2 m - 1 \right) x^{2} + x - 1$không có điểm cực đại?

A.  

$4$.

B.  

$6$.

C.  

$5$.

D.  

$3$.

Đáp án đúng là: A

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f \left( x \right) = \left( m + 1 \right) x^{3} - \left( 2 m - 1 \right) x^{2} + x - 1$không có điểm cực đại?
A. $4$. B. $6$. C. $5$. D. $3$.
Lời giải
Với $m = - 1$, ta có: $f \left( x \right) = 3 x^{2} + x - 1$ là một parabol với hệ số $a = 3 > 0$ suy ra hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu thỏa yêu cầu đề bài.
Với $m \neq - 1$, ta có: $f \left( x \right) = \left( m + 1 \right) x^{3} - \left( 2 m - 1 \right) x^{2} + x - 1$.
Suy ra $f ' \left( x \right) = 3 \left( m + 1 \right) x^{2} - 2 \left( 2 m - 1 \right) x + 1$. Khi đó, hàm số không có điểm cực đại $\Leftrightarrow$ hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow$phương trình $f ' \left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow$ $\Delta ' \leq 0$
$\Leftrightarrow$ $\left(\left( 2 m - 1 \right)\right)^{2} - 3 \left( m + 1 \right) . 1 \leq 0$ $\Leftrightarrow 4 m^{2} - 7 m - 2 \leq 0$ $\Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \leq m \leq 2$.
Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{ 0 , \textrm{ } 1 , \textrm{ } 2 \right}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số $m$thỏa yêu cầu đề bài.