Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ - 2023 ; 2023 \left]\right. để phương trình
m \left(\right. \left|\right. x + 1 \left|\right. - \left|\right. x - 1 \left|\right. + 2 \right) = 2 x^{2} + 7 - 2 \sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} có nghiệm?

A.  

$2024 .$.

B.  

$2025 .$.

C.  

$2022 .$.

D.  

$2023 .$.

Đáp án đúng là: C

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ - 2023 ; 2023 \left]\right.$ để phương trình
$m \left(\right. \left|\right. x + 1 \left|\right. - \left|\right. x - 1 \left|\right. + 2 \right) = 2 x^{2} + 7 - 2 \sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ có nghiệm?
A. $2024 .$. B. $2025 .$. C. $2022 .$. D. $2023 .$.
Lời giải
Đặt $t = \left| x + 1 \left|\right. - \left|\right. x - 1 \left|\right.$ $\rightarrow - 2 \leq t \leq 2$
Bình phương 2 vế, ta được: $t^{2} = 2 x^{2} + 2 - 2 \left|\right. x^{2} - 1 \left|\right.$ và ta có: $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = \left|\right. x^{2} - 1 \left|\right.$.
+ Xét $\left|\right. x + 1 \left|\right. - \left|\right. x - 1 \left|\right. + 2 = 0 \Rightarrow x = - 1$ $\rightarrow V P = 9$ (ptvn).
+ Khi đó phương trình trở thành: $m = \dfrac{t^{2} + 5}{t + 2}$, với $- 2 < t \leq 2$.
Đặt $g \left(\right. t \right) = \dfrac{t^{2} + 5}{t + 2} \rightarrow g^{'} \left( t \right) = \dfrac{t^{2} + 4 t - 5}{\left( t + 2 \right)^{2}}$. Cho $g^{'} \left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ t = 1 \\ t = - 5$.

Để phương trình có nghiệm $t \in \left(\right. - 2 ; \textrm{ } 2 \left]\right.$ thì $m \geq 2$.
Kết hợp với $m \in \left[\right. - 2023 ; 2023 \left]\right.$ và $m \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m \in \left{\right. 2 ; \textrm{ } 3 ; \textrm{ } . . . . . . ; \textrm{ } 2023 \right} \rightarrow$ có $2022$ giá trị.