Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left( x - 1 \right) log \left( e^{- x} + m + 2023 \right) = x - 2$ có hai nghiệm thực?

A.  

2023.

B.  

2024.

C.  

10.

D.  

$11$.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình $\left( x - 1 \right) log \left( e^{- x} + m + 2023 \right) = x - 2$ (1).
TH 1: Với $x = 1$ ta có $V T = 0 ; \textrm{ } V P = - 1$ suy ra $x = 1$ không là nghiệm của phương trình.
TH 2: Với $x \neq 1$ thì phương trình trở thành $log \left( e^{- x} + m + 2023 \right) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$
$\Leftrightarrow e^{- x} + m + 2023 = \left(10\right)^{\dfrac{x - 2}{x - 1}}$
$\Leftrightarrow m + 2023 = \left(10\right)^{\dfrac{x - 2}{x - 1}} - e^{- x}$.
Xét hàm số $f \left( x \right) = \left(10\right)^{\dfrac{x - 2}{x - 1}} - e^{- x}$ có TXĐ $D = \mathbb{R} \left{ 1 \right}$.
Ta có $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{1}{\left(\left( x - 1 \right)\right)^{2}} \left(10\right)^{\dfrac{x - 2}{x - 1}} . ln10 + e^{- x} > 0 ; \textrm{ }\textrm{ } \forall x \in D$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm thực khi $- 0 , 36 < m + 2023 < 10 \Leftrightarrow - 2023 , 36 - \dfrac{1}{e} < m < - 2013$.
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.