Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để tồn tại đúng hai số thực $b$ phân biệt, thỏa mãn điều kiện $\left( 4log_{2}^{2} b + \left(log\right)_{2} b - 5 \right) \sqrt{7^{b} - a} = 0$.

Cho bất phương trình $ln \dfrac{x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2}{x^{3} - 3 x^{2} + m} + x^{4} + x^{2} + 2 - m \geq 0$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in \left[\right. 0 ; 3 \left]\right.$.

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 9 \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( 3 - x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3 ; + \infty \right)$?

Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số $y = \dfrac{cos x + 1}{10cos x + m}$ _đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot$

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \textrm{ } \left( x \right) = \left( x - 2 \right)^{2} \left( x^{2} - x \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( x^{2} - 10 x + m \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị?

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[\right. 0 ; 6 \left]\right.$ và có bảng biến thiên như hình sau:

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( - \infty ; + \infty \right)$, có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ tại ba điểm phân biệt?