Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số $y = \dfrac{cos x + 1}{10cos x + m}$ _đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot$

A.  

$9 \cdot$

B.  

$12 \cdot$

C.  

$10 \cdot$

D.  

$20 \cdot$

Đáp án đúng là: A

Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số $y = \dfrac{cos x + 1}{10cos x + m}$ _đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot$
A. $9 \cdot$B. $12 \cdot$C. $10 \cdot$D. $20 \cdot$
Lời giải
Đặt $t = cos x , \forall x \in \left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow t \in \left( 0 ; 1 \right)$_.
Ta thấy hàm số $t = cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right)$ nên để hàm số $y = \dfrac{cos x + 1}{10cos x + m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right)$ khi và chỉ khi hàm số $y = \dfrac{t + 1}{10 t + m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$.
Ta có $f^{'} \left( t \right) = \dfrac{m - 10}{\left(\left( 10 t + m \right)\right)^{2}} < 0 , \forall t \in \left( 0 ; 1 \right) \Leftrightarrow m < 10$.
Lại có $10 t + m \neq 0 \Leftrightarrow \dfrac{- m}{10} \neq t \Leftrightarrow \left[ \dfrac{- m}{10} \leq 0 \\ \dfrac{- m}{10} \geq 1 \Leftrightarrow \left[\right. m \geq 0 \\ m \leq - 10$
Khi đó ta có: $\left{\right. m < 10 \\ \left[\right. \begin{matrix}m \geq 0 \\ m \leq - 10\end{matrix} \Leftrightarrow 0 \leq m < 10 \overset{m \in \left(\mathbb{Z}\right)^{+}}{\rightarrow} m \in \left{\right. 1 ; . . . ; 9 \right}$.