Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thoả mãn $\left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{\left(sin\right)^{4} y + \left(cos\right)^{4} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$?

A.  

$2$.

B.  

$1$.

C.  

$3$.

D.  

Vô số.

Đáp án đúng là: C

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thoả mãn $\left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{\left(sin\right)^{4} y + \left(cos\right)^{4} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$?
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. Vô số.
Lời giải
Điều kiện $x > - 1$
Ta có $\left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{\left(sin\right)^{4} y + \left(cos\right)^{4} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{1 - \left(2sin\right)^{2} y \left(cos\right)^{2} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) - 1 + x = 2^{2 - \left(sin\right)^{2} 2 y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$ $\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) + x + 1 = 2^{2 - \left(sin\right)^{2} 2 y} + \left( 2 - \left(sin\right)^{2} 2 y \right)$.
Xét hàm số $f \left( t \right) = t + \left(log\right)_{2} t$ trên $\left( 0 ; + \infty \right)$ có $f^{'} \left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{t ln2} > 0$, $\forall t > 0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$.
Phương trình đã cho có dạng $f \left( x + 1 \right) = f \left( 2^{2 - \left(sin\right)^{2} 2 y} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 2^{2 - \left(sin\right)^{2} 2 y}$.
Ta có $2 - \left(sin\right)^{2} 2 y \in \left[ 1 ; 2 \left]\right.$, $\forall y$ nên $x + 1 = 2^{2 - \left(sin\right)^{2} 2 y} \in \left[\right. 2 ; 4 \left]\right. \Leftrightarrow x \in \left[\right. 1 ; 3 \left]\right.$. Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left{\right. 1 ; 2 ; 3 \right}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của $x$ thoả mãn phương trình đã cho.