Có bao nhiêu số nguyên dương $m$sao cho có ứng với giá trị của $m$, bất phương trình $\left( 3^{x^{2}} - 2^{m x} \right) \left(\right. \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \left.\right) \leq 0$ có đúng 9 nghiệm nguyên?

Có tất cả bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi số nguyên y có đúng 5 số nguyên x thỏa mãn $\left(log\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) - \left(log\right)_{2} \left| 2 y - 8 x \left|\right. + 2 \left(\right. x^{2} + 2 \right)^{2} - \left| 4 x^{3} - y + x \left(\right. 4 - x y \right) \left|\right. < 0$?

Cho phương trình $m . 2^{x^{2} - 4 x - 1} + m^{2} . 2^{2 x^{2} - 8 x - 1} = \left(7log\right)_{2} \left( x^{2} - 4 x + \left(log\right)_{2} m \right) + 3$, ( $m$là tham số). Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ - 25 ; 25 \left]\right.$ sao cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 10}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng.

Xét các số thực $x , y$ sao cho

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để tồn tại đúng hai số thực $b$ phân biệt, thỏa mãn điều kiện $\left( 4log_{2}^{2} b + \left(log\right)_{2} b - 5 \right) \sqrt{7^{b} - a} = 0$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thoả mãn $\left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{\left(sin\right)^{4} y + \left(cos\right)^{4} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$?

Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số $y = \dfrac{cos x + 1}{10cos x + m}$ _đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot$

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ có đạo hàm $f^{'} \left( x \right) = x \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} \left( x^{2} + m x + 9 \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( 3 - x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3 ; + \infty \right)$?

Cho bất phương trình $ln \dfrac{x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2}{x^{3} - 3 x^{2} + m} + x^{4} + x^{2} + 2 - m \geq 0$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in \left[\right. 0 ; 3 \left]\right.$.