Có bao nhiêu số nguyên dương $m$sao cho có ứng với giá trị của $m$, bất phương trình $\left( 3^{x^{2}} - 2^{m x} \right) \left(\right. \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \left.\right) \leq 0$ có đúng 9 nghiệm nguyên?

A.  

3.

B.  

2.

C.  

0.

D.  

1.

Đáp án đúng là: B

Chọn B
Điều kiện: $\left{\right. x \neq 0 \\ x > - 1$, vì $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \geq 1$
Xét hàm số $f \left( x \right) = \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right)$ trên $\left[ 1 ; + \infty \right)$
$f^{'} \left( x \right) = \dfrac{2}{x ln3} - \dfrac{1}{\left( x + 1 \right) ln2} = \dfrac{\left( 2ln2 - ln3 \right) x + 2ln2}{x \left( x + 1 \right) ln2 . ln3} > 0$ $\forall x \geq 1$
$\Rightarrow f \left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1 ; + \infty \right)$
Lại có $f \left( 3 \right) = 0$ nên $f \left( x \right) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$
Và với $x \in \left[ 1 ; + \infty \right)$ thì $f \left( x \right) \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3$
TH1: $\left{\right. 3^{x^{2}} - 2^{m x} \leq 0 \\ \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \geq 0 \Leftrightarrow \left{ x^{2} \leq m x . \left(log\right)_{3} 2 \\ x \geq 3 \Leftrightarrow \left{\right. x \left(\right. x - m . \left(log\right)_{3} 2 \right) \leq 0 \\ x \geq 3 \Leftrightarrow \left{\right. x \leq m . \left(log\right)_{3} 2 \\ x \geq 3 \left( 1 \right)$
Khi $m . \left(log\right)_{3} 2 < 3$ thì $\left( 1 \right)$ Vô nghiệm
Khi $m . \left(log\right)_{3} 2 \geq 3$ thì $\left( 1 \right)$ có nghiệm $S = \left[ 3 ; m \left(log\right)_{3} 2 \left]\right.$
Bởi $S$ chứa 9số nguyên
$\Rightarrow 11 \leq m \left(log\right)_{3} 2 < 12 \Rightarrow m \in \left{\right. 18 ; 19 \right}$ có 2 giá trị
TH2: $\left{\right. 3^{x^{2}} - 2^{m x} \geq 0 \\ \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \leq 0 \Leftrightarrow \left{ x^{2} \geq m x . \left(log\right)_{3} 2 \\ 1 \leq x \leq 3 \Leftrightarrow \left{\right. x \left(\right. x - m . \left(log\right)_{3} 2 \right) \geq 0 \\ 1 \leq x \leq 3 \Leftrightarrow \left{\right. x \geq m . \left(log\right)_{3} 2 \\ 1 \leq x \leq 3 \left( 2 \right)$Loại
Vậy có 2 giá trị nguyên dương $m$thoả mãn yêu cầu bài toán.