Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \left|\right. \left(\right. z - 5 - i \right) + 2 i = \left( 6 - i \right) z ?$

Có bao nhiêu số nguyên $a$ để tồn tại số phức $z$ thỏa mãn $\left|\right. z + \bar{z} \left|\right. + \left|\right. z - \bar{z} \left|\right. = 16$ và $\left|\right. i z - 4 \left|\right. = a$ ?

Trên tập số phức, xét phương trình $z^{2} - m z + m + 8 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có $2$ nghiệm $z_{1} , z_{2}$ phân biệt thỏa mãn $\left| z_{1} \left(\right. z_{1}^{2} + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left|\right. z_{2} \left|\right. ?$

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 1 \right) z + m^{2} = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_{0}$ thỏa mãn $\left|\right. z_{0} \left|\right. = 7 ?$

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để tồn tại đúng hai số thực $b$ phân biệt, thỏa mãn điều kiện $\left( 4log_{2}^{2} b + \left(log\right)_{2} b - 5 \right) \sqrt{7^{b} - a} = 0$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thoả mãn $\left(log\right)_{2} \left( \dfrac{x + 1}{2} \right) + x = 4^{\left(sin\right)^{4} y + \left(cos\right)^{4} y} - \left(sin\right)^{2} 2 y$?

Có bao nhiêu số tự nhiên $x \in \left[\right. 0 ; 2023 \left]\right.$thỏa mãn bất phương trình $\left(log\right)_{\sqrt{2}} \left(\right. x - 1 \right) > \left(log\right)_{2} \left( x + 5 \right) ?$

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(\text{log}\right)_{5} \dfrac{x^{2} - 4}{49} < \left(\text{log}\right)_{7} \dfrac{x^{2} - 4}{25}$?

Có bao nhiêu số nguyên $x$sao cho ứng với mỗi $x$ tồn tại $y \in \left[ 2 ; 8 \left]\right.$ thoả mãn $\left(\right. y - x \right) \left(log\right)_{2} \left( x + y \right) = y + x^{2}$

Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho tồn tại số thực $b$ thỏa mãn $e^{a} = 3^{b}$ và $a^{2} + b^{2} < 9 ?$