Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 1 \right) z + m^{2} = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_{0}$ thỏa mãn $\left|\right. z_{0} \left|\right. = 7 ?$

A.  

$2$.

B.  

$3$.

C.  

$1$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: B

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 1 \right) z + m^{2} = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_{0}$ thỏa mãn $\left| z_{0} \left|\right. = 7 ?$
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Lời giải
$\left(\Delta\right)^{'} = \left(\right. m + 1 \left(\right)\right)^{2} - m^{2} = 2 m + 1$.
+) Nếu $\left(\Delta\right)^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - \dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left|\right. z_{0} \left|\right. = 7 \Leftrightarrow z_{0} = \pm 7$.
Thế $z_{0} = 7$ vào phương trình ta được: $m^{2} - 14 m + 35 = 0 \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt{14}$ (nhận).
Thế $z_{0} = - 7$ vào phương trình ta được: $m^{2} + 14 m + 63 = 0$, phương trình này vô nghiệm.
+) Nếu $\left(\Delta\right)^{'} < 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức $z_{1} , z_{2} \notin \mathbb{R}$ thỏa $z_{2} = \bar{z_{1}}$. Khi đó $z_{1} . z_{2} = \left(\left|\right. z_{1} \left|\right.\right)^{2} = m^{2} = 7^{2}$ hay $m = 7$ (loại) hoặc $m = - 7$ (nhận).
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m = 7 \pm \sqrt{14}$ và $m = - 7$.