Trên tập số phức, xét phương trình $z^{2} - m z + m + 8 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có $2$ nghiệm $z_{1} , z_{2}$ phân biệt thỏa mãn $\left| z_{1} \left(\right. z_{1}^{2} + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left|\right. z_{2} \left|\right. ?$

Trên tập số phức, xét phương trình $z^{2} - m z + m + 8 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có $2$ nghiệm $z_{1} , z_{2}$ phân biệt thỏa mãn $\left| z_{1} \left(\right. z_{1}^{2} + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left|\right. z_{2} \left|\right. ?$
A. $11$. B. $12$. C. $6$. D. $5$.
Lời giải
Ta có $\Delta = m^{2} - 4 m - 32$
Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm $z_{1} , z_{2}$ phân biệt, ta xét hai trường hợp:
⚫ Trường hợp 1: $\Delta > 0 \Leftrightarrow \left[\right. m < - 4 \\ m > 8 \Rightarrow$ phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt $z_{1} , z_{2}$
Khi đó, theo định lí Vi-et, ta có $\left{\right. z_{1} + z_{2} = m \\ z_{1} . z_{2} = m + 8$
Mà $z_{1}$ là nghiệm của phương trình nên $z_{1}^{2} - m z_{1} + m + 8 = 0 \Leftrightarrow z_{1}^{2} = m z_{1} - m - 8$ (1)
Theo giả thiết, ta có $\left| z_{1} \left(\right. z_{1}^{2} + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left| z_{2} \left|\right.$ (2)
Thế (1) vào (2) ta được $\left|\right. z_{1} \left(\right. m z_{1} - m - 8 + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left| z_{2} \left|\right.$
$\Leftrightarrow \left|\right. z_{1} \left|\right. \left|\right. \left(\right. m \left(\right. z_{1} + z_{2} \right) - m - 8 \left.\right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left|\right. z_{2} \left|\right.$
$\Leftrightarrow \left|\right. z_{1} \left|\right. \left|\right. m^{2} - m - 8 \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left| z_{2} \left|\right. \Leftrightarrow \left{\right. m^{2} - m - 8 > 0 \\ \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left( \left|\right. z_{1} \left|\right. - \left|\right. z_{2} \left|\right. \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left{\right. m^{2} - m - 8 > 0 \\ z_{1} = - z_{2} \Leftrightarrow \left{\right. m^{2} - m - 8 > 0 \\ z_{1} + z_{2} = 0 \Leftrightarrow \left{\right. m^{2} - m - 8 > 0 \\ m = 0$ (không thỏa mãn)
⚫ Trường hợp 2: $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 8 \Rightarrow$ pt đã cho có hai nghiệm phức $z_{1} , z_{2}$ và $\left|\right. z_{1} \left|\right. = \left|\right. z_{2} \left|\right.$
Khi đó $\left| z_{1} \left(\right. z_{1}^{2} + m z_{2} \right) \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left|\right. z_{2} \left|\right.$ $\Leftrightarrow \left|\right. z_{1} \left|\right. \left|\right. m^{2} - m - 8 \left| = \left(\right. m^{2} - m - 8 \right) \left| z_{2} \left|\right.$
$\Leftrightarrow m^{2} - m - 8 > 0 \Leftrightarrow m \in \left(\right. - \infty ; \dfrac{1 - \sqrt{33}}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} ; + \infty \right)$
Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z} , m \in \left( - 4 ; 8 \right)$ ta được $m \in \left{ - 2 \right} \cup \left{ 4 ; 5 ; 6 ; 7 \right}$
Vậy có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.