Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho tồn tại số thực $b$ thỏa mãn $e^{a} = 3^{b}$ và $a^{2} + b^{2} < 9 ?$

Có bao nhiêu số nguyên $x$sao cho ứng với mỗi $x$ tồn tại $y \in \left[ 2 ; 8 \left]\right.$ thoả mãn $\left(\right. y - x \right) \left(log\right)_{2} \left( x + y \right) = y + x^{2}$

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$sao cho có ứng với giá trị của $m$, bất phương trình $\left( 3^{x^{2}} - 2^{m x} \right) \left(\right. \left(log\right)_{3} x^{2} - \left(log\right)_{2} \left( x + 1 \right) \left.\right) \leq 0$ có đúng 9 nghiệm nguyên?

Cho phương trình $m . 2^{x^{2} - 4 x - 1} + m^{2} . 2^{2 x^{2} - 8 x - 1} = \left(7log\right)_{2} \left( x^{2} - 4 x + \left(log\right)_{2} m \right) + 3$, ( $m$là tham số). Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực.

Có tất cả bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi số nguyên y có đúng 5 số nguyên x thỏa mãn $\left(log\right)_{2} \left( x^{2} + 3 \right) - \left(log\right)_{2} \left| 2 y - 8 x \left|\right. + 2 \left(\right. x^{2} + 2 \right)^{2} - \left| 4 x^{3} - y + x \left(\right. 4 - x y \right) \left|\right. < 0$?

Cho hàm số $f \left( x \right) = x^{4} - 18 x^{2} + 4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( - 3 ; 2 \right)$ của phương trình $f \left( x^{2} + 2 x + 3 \right) = m$ bằng −4

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ - 25 ; 25 \left]\right.$ sao cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 10}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng.

Xét các số thực $x , y$ sao cho

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để tồn tại đúng hai số thực $b$ phân biệt, thỏa mãn điều kiện $\left( 4log_{2}^{2} b + \left(log\right)_{2} b - 5 \right) \sqrt{7^{b} - a} = 0$.

Có bao nhiêu số nguyên $a$ để tồn tại số phức $z$ thỏa mãn $\left|\right. z + \bar{z} \left|\right. + \left|\right. z - \bar{z} \left|\right. = 16$ và $\left|\right. i z - 4 \left|\right. = a$ ?