Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(log\right)_{3} \dfrac{x^{2} - 9}{125} \leq \left(log\right)_{5} \dfrac{x^{2} - 9}{27}$ ?

A.  

$58$.

B.  

$112$.

C.  

$110$.

D.  

$117$.

Đáp án đúng là: C

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(log\right)_{3} \dfrac{x^{2} - 9}{125} \leq \left(log\right)_{5} \dfrac{x^{2} - 9}{27}$ ?
A. $58$. B. $112$. C. $110$. D. $117$.
Lời giải
Điều kiện: $x^{2} - 9 > 0 \Leftrightarrow \left[ x > 3 \\ x < - 3$.
Ta có: $\left(log\right)_{3} \dfrac{x^{2} - 9}{125} \leq \left(log\right)_{5} \dfrac{x^{2} - 9}{27} \Rightarrow \left(log\right)_{3} \left(\right. x^{2} - 9 \right) - \left(3log\right)_{3} 5 \leq \left(log\right)_{5} \left( x^{2} - 9 \right) - \dfrac{3}{\left(log\right)_{3} 5}$
$\Rightarrow \left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right) - \dfrac{\left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right)}{\left(log\right)_{3} 5} \leq \left(3log\right)_{3} 5 - \dfrac{3}{\left(log\right)_{3} 5} \Rightarrow \left( 1 - \dfrac{1}{\left(log\right)_{3} 5} \right) \left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right) \leq \left(3log\right)_{3} 5 - \dfrac{3}{\left(log\right)_{3} 5} \\ \Rightarrow \left( \left(log\right)_{3} 5 - 1 \right) \left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right) \leq 3 \left( log_{3}^{2} 5 - 1 \right) \Rightarrow \left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right) \leq 3 \left( \left(log\right)_{3} 5 + 1 \right) \Rightarrow \left(log\right)_{3} \left( x^{2} - 9 \right) \leq \left(3log\right)_{3} 15 \\ \Rightarrow x^{2} - 9 \leq \left(15\right)^{3} \Rightarrow x^{2} - 3384 \leq 0 \Rightarrow - 6 \sqrt{94} \leq x \leq 6 \sqrt{94} .$Kết hợp với điều kiện và yêu cầu bài toán là $x$ nguyên nên có $x \in \left{ \pm 4 ; \textrm{ } \pm 5 ; \textrm{ } . . . ; \pm 58 \right} \Rightarrow$có 110 giá trị thỏa mãn bài toán.